Use a transformada de Laplace para resolver o sistema:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O sistema que temos é:
X^prime = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 X + e^t e^2 t t e^3 t
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar aplicar a transformada de Laplace em todo o sistema, transformar as equações no domínio de , resolver para e depois aplicar a transformada inversa para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de sX(s) - X(0) = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 3 X(s) + 1s-1 1s-2 1(s-3)^2 é , onde é o vetor das condições iniciais.
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Laplace para funções como e .
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para isolar (sI - A)X(s) = X(0) + 1s-1 1s-2 1(s-3)^2 . Primeiro, trazemos todos os termos com para o lado esquerdo:
Onde é a matriz identidade e é a matriz dos coeficientes.
Passo 4
Agora, para resolver para sI - A = s-1 & -1 & 0 -1 & s-1 & 0 0 & 0 & s-3 , precisamos calcular . Vamos montar a matriz :
A inversa dessa matriz será usada para multiplicar o lado direito da equação e obter .
Simplificamos o denominador para facilitar os cálculos.
Passo 6
Multiplicamos X(s) = (sI - A)^-1 ( X(0) + 1s-1 1s-2 1(s-3)^2 ) pelo lado direito da equação:
Esse passo envolve multiplicar matrizes e somar os termos de forma correspondente.
Passo 7
Supondo que as condições iniciais X(s) = (sI - A)^-1 1s-1 1s-2 1(s-3)^2 sejam conhecidas (por exemplo, ), podemos simplificar a expressão:
Agora, realizamos as multiplicações de matrizes para encontrar cada componente de .
Passo 8
Após realizar as multiplicações, obtemos as expressões para X1(s) = (s-1)s^2 -2s cdot 1s-1 + 1s^2 -2s cdot 1s-2 = 1s^2 -2s + 1(s^2 -2s)(s-2) , e . Por exemplo:
Fazemos o mesmo para e .
Passo 9
Agora, simplificamos as frações parciais e preparamos para aplicar a transformada inversa de Laplace. Isso envolve decompor em frações mais simples que correspondem às funções conhecidas na tabela de Laplace.
Por exemplo:
X1(s) = 1s(s-2) + 1(s)(s-2)^2
Passo 10
Aplicamos a transformada inversa de Laplace para cada termo: