Use a Regra da Cadeia para achar d/z dt ou d w / d t.
z = atan(y/x), x = e^t, y = 1 - e^(-t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo que ajuda a derivar funções compostas. A gente tem , e e também são funções de : e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Basicamente, se uma variável depende de outra, que por sua vez depende de uma terceira, a derivada direta não é suficiente. Precisamos multiplicar as derivadas das funções interligadas. No nosso caso, depende de e , e ambos dependem de . Então, a derivada vai ser a soma das derivadas parciais de em relação a e , multiplicadas pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Matematicamente, isso fica assim:
Agora, vamos calcular cada uma dessas partes separadamente.

Passo 4

Primeiro, vamos achar e . Como , podemos usar as derivadas da função arco-tangente:

Passo 5

Agora, vamos calcular e :

Passo 6

Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Como e , podemos substituir esses valores:

Resposta

Depois de simplificar, a derivada é:
Que pode ser simplificada para:

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