Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica de cálculo que ajuda a derivar funções compostas. A gente tem
, e
e
também são funções de
:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra da Cadeia. Basicamente, se uma variável depende de outra, que por sua vez depende de uma terceira, a derivada direta não é suficiente. Precisamos multiplicar as derivadas das funções interligadas. No nosso caso,
depende de
e
, e ambos dependem de
. Então, a derivada
vai ser a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, multiplicadas pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Matematicamente, isso fica assim:
Agora, vamos calcular cada uma dessas partes separadamente.
Passo 4
Primeiro, vamos achar
e
. Como
, podemos usar as derivadas da função arco-tangente:
Passo 5
Agora, vamos calcular
e
:
Passo 6
Vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Como
e
, podemos substituir esses valores:
Resposta
Depois de simplificar, a derivada é:
Que pode ser simplificada para: