Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
X' = (2 -1; 4 2) X + (sen(2t); 2cos(2t)) e^(2t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
Temos um sistema linear de primeira ordem representado por:
O conteúdo que vamos usar aqui são sistemas de equações lineares e o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares para sistemas não homogêneos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz .

Passo 3

Calculamos os autovalores resolvendo o determinante :
Resolvendo:
Então, os autovalores são e .

Passo 4

Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema homogêneo é:
Aqui, usamos a forma exponencial para expressar soluções com partes oscilatórias devido aos termos imaginários nos autovalores.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo. Usamos o método de variação dos parâmetros, onde assumimos que os coeficientes e não são constantes, mas funções de :

Passo 6

Derivamos em relação a e substituímos na equação original, obtendo um sistema para e . Após simplificações, resolvemos esse sistema para encontrar e .

Passo 7

Depois de encontrar e , substituímos de volta em para obter a solução particular completa.

Passo 8

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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