Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação dos parâmetros. Primeiro, vamos entender o que temos aqui:
Temos um sistema linear de primeira ordem representado por:
O conteúdo que vamos usar aqui são sistemas de equações lineares e o método de variação dos parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções particulares para sistemas não homogêneos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o sistema homogêneo associado:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz
.
Passo 3
Calculamos os autovalores resolvendo o determinante
:
Resolvendo:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 4
Com os autovalores complexos, a solução geral do sistema homogêneo é:
Aqui, usamos a forma exponencial para expressar soluções com partes oscilatórias devido aos termos imaginários nos autovalores.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para o sistema completo. Usamos o método de variação dos parâmetros, onde assumimos que os coeficientes
e
não são constantes, mas funções de
:
Passo 6
Derivamos
em relação a
e substituímos na equação original, obtendo um sistema para
e
. Após simplificações, resolvemos esse sistema para encontrar
e
.
Passo 7
Depois de encontrar
e
, substituímos de volta em
para obter a solução particular completa.
Passo 8
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.