Resolva as seguintes equações:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais nulas e forçantes do tipo impulso e degrau deslocado:
y'' + 3y' + 2y = de
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver ODEs com excitadores descontínuos. Vamos precisar usar as propriedades de deslocamento no domínio do tempo (teorema do valor final e do deslocamento).

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Como as condições iniciais são zero, temos:
Ly''+3y'+2y = (s^2+3s+2)Y(s)
Do lado direito, usamos:
Lde
Logo:
(s^2+3s+2)Y(s) = e^-5s + e^-10ss

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s) = e^-5s(s+1)(s+2) + e^-10ss(s+1)(s+2)
Agora vamos inverter termo a termo via deslocamento no tempo.

Passo 4

Para o primeiro termo e^-5s/[(s+1)(s+2)]:
  1. A transformada inversa sem deslocamento é a resposta ao impulso do sistema de polo em -1 e -2:
    h(t)=L^-11/[(s+1)(s+2)] = e^-t - e^-2t, t>0
  2. Pelo teorema do deslocamento, multiplicar por e^-5s no domínio de s equivale a atrasar em 5 no tempo:
    y1(t) = u(t-5)l[e^-(t-5) - e^-2(t-5)r]

Passo 5

Para o segundo termo e^-10s/[s(s+1)(s+2)]:
  1. Primeiro encontramos a resposta ao degrau unitário sem deslocamento:
    Fazemos frações parciais em
    1s(s+1)(s+2) = A s + Bs+1 + Cs+2
    Igualando numeradores: 1 = A(s+1)(s+2) + B,s(s+2) + C,s(s+1). Avaliando em s=0,-1,-2 obtemos
    A=tfrac12, ;B=-1, ;C=tfrac12
    Logo,
    r(t)=L^-11/[s(s+1)(s+2)] = tfrac12 - e^-t + tfrac12 e^-2t, t>0
  2. Aplicando o deslocamento de 10:
    y2(t) = u(t-10)l[tfrac12 - e^-(t-10) + tfrac12 e^-2(t-10)r]

Passo 6

Somamos as duas contribuições: a resposta ao impulso em t=5 e a ao degrau em t=10. Assim, a solução completa é
y(t) = u(t-5)l[e^-(t-5) - e^-2(t-5)r] + u(t-10)l[tfrac12 - e^-(t-10) + tfrac12 e^-2(t-10)r]
Note que para t<5, ambos são zero; para 5<= t<10 só vale o primeiro termo; e para t>=10 entram os dois.

Passo 7

Resposta

$$y(t) = u(t-5)\bigl[e^{-(t-5)} - e^{-2(t-5)}\bigr];+
u(t-10)\Bigl[\tfrac12 - e^{-(t-10)} + \tfrac12 e^{-2(t-10)}\Bigr].$$

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