Resolva as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais nulas e forçantes do tipo impulso e degrau deslocado:
O conteúdo é Transformada de Laplace para resolver ODEs com excitadores descontínuos. Vamos precisar usar as propriedades de deslocamento no domínio do tempo (teorema do valor final e do deslocamento).
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados. Como as condições iniciais são zero, temos:
Do lado direito, usamos:
Logo:
Passo 3
Isolamos
:
Agora vamos inverter termo a termo via deslocamento no tempo.
Passo 4
Para o primeiro termo
:
-
A transformada inversa sem deslocamento é a resposta ao impulso do sistema de polo em
e : -
Pelo teorema do deslocamento, multiplicar por
no domínio de equivale a atrasar em 5 no tempo:
Passo 5
Para o segundo termo
:
-
Primeiro encontramos a resposta ao degrau unitário sem deslocamento:Fazemos frações parciais emIgualando numeradores:
. Avaliando em obtemos Logo, -
Aplicando o deslocamento de 10:
Passo 6
Somamos as duas contribuições: a resposta ao impulso em
e a ao degrau em
. Assim, a solução completa é
Note que para
, ambos são zero; para
só vale o primeiro termo; e para
entram os dois.
Passo 7
Resposta
$$y(t) = u(t-5)\bigl[e^{-(t-5)} - e^{-2(t-5)}\bigr];+
u(t-10)\Bigl[\tfrac12 - e^{-(t-10)} + \tfrac12 e^{-2(t-10)}\Bigr].$$