Mostre que r=2 é uma raiz tripla da equação característica do sistema x^prime=[ccc1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4] x.
E ache três soluções linearmente independentes para este sistema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que r=2 é raiz de multiplicidade 3 da equação característica do sistema x'=Ax com
A=1 & 1 & 1 2 & 1 & -1 -3 & 2 & 4
e em seguida achar três soluções de forma explícita e linearmente independentes. Vamos usar a definição de determinante 3×3 para obter o polinômio característico e depois construir uma cadeia de Jordan (vetor próprio mais vetores generalizados).

Passo 2

Para obter o polinômio característico, montamos det(A-rI)=0. Temos
A-rI=1-r & 1 & 1 2 & 1-r & -1 -3 & 2 & 4-r
Calculando o determinante por expansão na primeira linha e fatorando obtemos
det(A-rI)=(r-2)^3=0
ou seja, r=2 é de fato raiz tripla.

Passo 3

Agora achamos o espaço próprio associando r=2. Resolvemos
(A-2I)v=0Longrightarrow-1 & 1 & 1 2 & -1 & -1 -3 & 2 & 2v=0
Dessa forma obtemos o vetor próprio (único até escala)
v=0 -1 1

Passo 4

Para completar a cadeia de Jordan, precisamos de w1 e w2 tais que
(A-2I)w1=v,
(A-2I)w2=w1
Solucionando cada sistema, um convite consistente de equações dá, por exemplo,
w1=-1 0 -1,
w2=-1 0 -2

Passo 5

Finalmente, a teoria de blocos de Jordan diz que três soluções linearmente independentes são
X1(t)=e^2tv,
X2(t)=e^2tl(tv+w1r),
X3(t)=e^2tl(tfract^22v+t,w1+w2r)

Passo 6

Essas três funções formam uma base de soluções do sistema, pois combinam o autovetor de multiplicidade 1 com os vetores generalizados e são claramente linearmente independentes.

Resposta

As três soluções linearmente independentes são
X1(t)=e^2t0 -1 1,
X2(t)=e^2t-1 -t t-1,
X3(t)=e^2t-t-1 -tfract^22 tfract^22-t-2

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