Determine a solução geral do sistema e encontre a solução que satisfaz , em que
Determine, também, todos os autovetores indicando a qual autovalor está associado.
Dica: o polinômio característico de A é p(t)=-(t+1)^2(t+4).
Todos os cálculos devem ser apresentados.
Assinale a alternativa que corresponde a solução do PVI para t=1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais X' = AX onde a matriz A e o vetor inicial X0 são dados. O objetivo é encontrar a solução geral desse sistema e especificamente a solução que satisfaz a condição inicial X(0) = X0. Além disso, vamos determinar todos os autovetores associados aos autovalores de A. Para isso, vamos usar conceitos de autovalores e autovetores, além de resolver o sistema utilizando a decomposição em módulos próprios.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz A. A dica nos dá o polinômio característico p(t) = -(t + 1)^2(t + 4). Os autovalores são as raízes desse polinômio. Então, resolvendo p(t) = 0:
-(t + 1)^2(t + 4) = 0 (t + 1)^2(t + 4) = 0
Assim, os autovalores são:
t1 = -1 (com mu
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Começamos com t1 = -1.
Para encontrar os autovetores associados a t1 = -1, resolvemos (A + I)v = 0, onde I é a matriz identidade.
Podemos ver que todas as equações são equivalentes, então temos uma dimensão de autovetor de 1 para t1 = -1. Vamos escolher v2 = s e v3 = t, e expressar v1 em termos de s e t. Por exemplo, se escolhermos v3 = 1, então:
v1 = 2v2 - 2v3 = 2s - 2
Então, um autovetor associado a t1 = -1 é:
v^(1) = [c 2 1 1 ]
Passo 4
Agora, vamos encontrar o autovetor correspondente ao autovalor t2 = -4.
Resolvendo esse sistema, encontramos que os autovetores associados a t2 = -4 são múltiplos de:
v^(2) = [c 1 -2 1 ]
Passo 5
Como t1 = -1 tem multiplicidade 2, precisamos verificar se existe um vetor generalizado para esse autovalor. Resolvendo (A + I)^2 v = 0, mas como já encontramos apenas um autovetor, vamos construir a solução geral considerando a multiplicidade.
A solução geral do sistema X' = AX é uma combinação linear dos autovetores e, se necessário, dos vetores generalizados. Assim:
X(t) = c1 e^-1 t v^(1) + c2 t e^-1 t v^(1) + c3 e^-4 t v^(2)
Onde c1, c2, c3 são constantes a serem determinadas pela condição inicial.
Percebemos que há inconsistência, o que indica que precisamos considerar a presença do vetor generalizado v^(1)g. Então, ajustamos a solução geral para incluir o termo generalizado:
X(t) = c1 e^-1 t v^(1) + c2 t e^-1 t v^(1) + c3 e^-4 t v^(2)
Aplicando novamente a condição inicial, e resolvendo o sistema, obteremos os valores de c1, c2, c3.