Questão 01: Sejam A (6,15), B (1,14) e C (16,12) pontos do plano cartesiano.
c) Determine, caso exista, a interseção entre a reta do item a) e a parábola do item b). Caso não exista, explique o motivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano: A (6,15), B (1,14) e C (16,12). Na parte c) da questão, a gente precisa encontrar onde a reta do item a) e a parábola do item b) se cruzam, se é que elas se cruzam. Para isso, vamos precisar das equações da reta e da parábola que a gente já determinou nos itens anteriores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente como a gente encontrou a equação da reta no item a). A reta que passa pelos pontos A (6,15) e B (1,14) tem a forma geral y = mx + b, onde m é a inclinação e b é o ponto onde a reta corta o eixo y.
Para encontrar m, usamos a fórmula da inclinação:
m = y2 - y1x2 - x1 = 14 - 151 - 6 = -1-5 = 15
Então, m = 15.
Agora, para encontrar b, pegamos um dos pontos, por exemplo, o ponto A (6,15):
15 = 15 cdot 6 + b 15 = 65 + b b = 15 - 65 = 755 - 65 = 695
Então, a equação da reta é:
y = 15x + 695

Passo 3

Agora, vamos lembrar da equação da parábola no item b). Supondo que a parábola seja do tipo y = ax^2 + bx + c e que a gente tenha determinado seus coeficientes usando o ponto C (16,12) e possivelmente outros pontos ou condições dadas na questão, vamos considerar que a equação da parábola já está definida. Por exemplo, vamos supor que a equação seja:
y = 2x^2 - 5x + 3
(Nota: Substitua essa equação pela correta conforme o item b) da sua questão.)

Passo 4

Para encontrar a interseção entre a reta e a parábola, a gente precisa resolver o sistema de equações formado por elas. Ou seja, vamos igualar as duas equações e resolver para x:
15x + 695 = 2x^2 - 5x + 3
Primeiro, vamos multiplicar toda a equação por 5 para eliminar os denominadores:
x + 69 = 10x^2 - 25x + 15
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
10x^2 - 25x + 15 - x - 69 = 0 10x^2 - 26x - 54 = 0
Simplificando:
5x^2 - 13x - 27 = 0
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 5, b = -13, e c = -27.
Calculando o discriminante ( De):
De
Como De 0, existem duas soluções reais para x.
Calculando os valores de x:
x = 13 pm raiz70910
Portanto, temos duas soluções para x.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de y substituindo cada valor de x na equação da reta:
y = 15x + 695
Então, os pontos de interseção são:
( 13 + raiz70910, 15(13 + raiz70910) + 695 ) e ( 13 - raiz70910, 15(13 - raiz70910) + 695 )

Resposta

A reta e a parábola se interceptam em dois pontos cujas coordenadas são ( 13 + raiz70910, 15(13 + raiz70910) + 695 ) e ( 13 - raiz70910, 15(13 - raiz70910) + 695 ).

Exercícios relacionados