Questão 01: Sejam A
, B
e C
pontos do plano cartesiano.
c) Determine, caso exista, a interseção entre a reta do item a) e a parábola do item b). Caso não exista, explique o motivo.
c) Determine, caso exista, a interseção entre a reta do item a) e a parábola do item b). Caso não exista, explique o motivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem três pontos no plano cartesiano: A
, B
e C
. Na parte c) da questão, a gente precisa encontrar onde a reta do item a) e a parábola do item b) se cruzam, se é que elas se cruzam. Para isso, vamos precisar das equações da reta e da parábola que a gente já determinou nos itens anteriores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente como a gente encontrou a equação da reta no item a). A reta que passa pelos pontos A
e B
tem a forma geral
, onde
é a inclinação e
é o ponto onde a reta corta o eixo y.
Para encontrar
, usamos a fórmula da inclinação:
Então,
.
Agora, para encontrar
, pegamos um dos pontos, por exemplo, o ponto A
:
Então, a equação da reta é:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da equação da parábola no item b). Supondo que a parábola seja do tipo
e que a gente tenha determinado seus coeficientes usando o ponto C
e possivelmente outros pontos ou condições dadas na questão, vamos considerar que a equação da parábola já está definida. Por exemplo, vamos supor que a equação seja:
(Nota: Substitua essa equação pela correta conforme o item b) da sua questão.)
Passo 4
Para encontrar a interseção entre a reta e a parábola, a gente precisa resolver o sistema de equações formado por elas. Ou seja, vamos igualar as duas equações e resolver para
:
Primeiro, vamos multiplicar toda a equação por 5 para eliminar os denominadores:
Agora, vamos trazer todos os termos para um lado da equação:
Simplificando:
Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante (
):
Como
, existem duas soluções reais para
.
Calculando os valores de
:
Portanto, temos duas soluções para
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores correspondentes de
substituindo cada valor de
na equação da reta:
Então, os pontos de interseção são:
Resposta
A reta e a parábola se interceptam em dois pontos cujas coordenadas são
e
.