Determine a solução geral dos sistemas cujas matrizes ampliadas (ou completas) associadas a eles são dadas nos itens abaixo:
\left[\begin{array}{ccccc:c}1 & -2 & 0 & 0 & 7 & -3 \\\ 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 1 \\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 & -4 \\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz ampliada do sistema linear e pede a solução geral. O conteúdo aqui é resolução de sistemas por análise das equações em forma escalonada, identificando variáveis pivôs e livres e aplicando retro‐substituição.

Passo 2

Da linha 4 temos a equação
2x_{5}=0
que vem do pivô na coluna de x_{5}.

Passo 3

Resolvendo 2x_{5}=0 obtemos
x_{5}=0.

Passo 4

Da linha 3 vem
x_{4}+5x_{5}=-4.
Substituindo x_{5}=0
x_{4}=-4.

Passo 5

Da linha 2 vem
x_{2}-3x_{5}=1.
Substituindo x_{5}=0
x_{2}=1.

Passo 6

Da linha 1 vem
x_{1}-2x_{2}+7x_{5}=-3.
Substituindo x_{2}=1 e x_{5}=0
x_{1}-2\cdot1=-3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=-1.

Passo 7

A variável x_{3} não aparece em nenhuma equação, logo é livre. Chamamos de parâmetro
x_{3}=t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) =(-1,\,1,\,t,\,-4,\,0), \quad t\in\mathbb{R}.

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