Determine a solução geral dos sitemas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema não-homogêneo de dimensão 2 da forma X′=AX+f(t), em que
A e f(t) são dadas por
A e f(t) são dadas por
O conteúdo envolve métodos de sistemas lineares de coeficientes constantes: solução geral = homogênea + particular.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a solução do sistema homogêneo X′=AX. Precisamos dos valores próprios de A, que satisfazem det(A–λI)=0. Calcula-se:
Isso dá λ=−5±2i. Como são complexos conjugados, teremos soluções reais oscilantes com decaimento e rotação.
Passo 3
Com λ=−5+2i, encontramos um autovetor v associado, por exemplo v=(1,i)^T. A solução complexa é e^{(−5+2i)t}v. Para obter 2 soluções reais independentes, tomamos parte real e imaginária:
Logo a solução homogênea é
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular polinomial do tipo
onde a=(a_1,a_2)^T e b=(b_1,b_2)^T são vetores constantes desconhecidos. Sua derivada é X_p′=a.
Passo 5
Substituindo em X′=AX+f(t) obtemos
Igualando termos em t e termos constantes:
Para t: 0=A a+ ,
Para constante: a=A b+ .
Para t: 0=A a+
Para constante: a=A b+
Passo 6
Do coeficiente de t temos
Isto é
Resolvendo, achamos
Passo 7
Do termo constante:
Assim
implica
Passo 8
Portanto a solução particular é
Juntando homogênea e particular obtemos a solução geral.
Resposta
X(t)=C_{1},e{-5t}\begin{pmatrix}\cos2t\-\sin2t\end{pmatrix}+C_{2},e{-5t}
+