Determine a solução geral dos sitemas:
X^prime=(cc -5 & 2 -2 & -5 ) X+binomt-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema não-homogêneo de dimensão 2 da forma X′=AX+f(t), em que
A e f(t) são dadas por
A=-5 & 2-2 & -5, f(t)=t-1
O conteúdo envolve métodos de sistemas lineares de coeficientes constantes: solução geral = homogênea + particular.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a solução do sistema homogêneo X′=AX. Precisamos dos valores próprios de A, que satisfazem det(A–λI)=0. Calcula-se:
det-5-lambda & 2-2 & -5-lambda=( -5-lambda)^2+4=(lambda+5)^2+4=0
Isso dá λ=−5±2i. Como são complexos conjugados, teremos soluções reais oscilantes com decaimento e rotação.

Passo 3

Com λ=−5+2i, encontramos um autovetor v associado, por exemplo v=(1,i)^T. A solução complexa é e^{(−5+2i)t}v. Para obter 2 soluções reais independentes, tomamos parte real e imaginária:
x^(1)(t)=e^-5tcos2t-sin2t,
x^(2)(t)=e^-5tsin2tcos2t
Logo a solução homogênea é
Xh(t)=C1x^(1)(t)+C2x^(2)(t)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular polinomial do tipo
Xp(t)=a,t+b,
onde a=(a_1,a_2)^T e b=(b_1,b_2)^T são vetores constantes desconhecidos. Sua derivada é X_p′=a.

Passo 5

Substituindo em X′=AX+f(t) obtemos
a=A(at+b)+t-1=A a,t +A b+t-1
Igualando termos em t e termos constantes:
Para t: 0=A a+ 10,
Para constante: a=A b+ 0-1.

Passo 6

Do coeficiente de t temos
A a+10=0
Isto é
-5 & 2-2 & -5a1a2=-10
Resolvendo, achamos
a=5/29-2/29

Passo 7

Do termo constante:
A b= a-0-1=5/29-2/29+1=5/2927/29
Assim
-5 & 2-2 & -5b=5/2927/29
implica
b=-79/841-125/841

Passo 8

Portanto a solução particular é
Xp(t)=5/29-2/29t+-79/841-125/841
Juntando homogênea e particular obtemos a solução geral.

Resposta

X(t)=C_{1},e{-5t}\begin{pmatrix}\cos2t\-\sin2t\end{pmatrix}+C_{2},e{-5t} cos2t-sin2t+ sin2tcos2t

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