Utilizando a mudança de variáveis: u=x-y e v=x+y, calcule:
integral duplaD(x^2-y^2) sen^2(x+y) d x d y
onde D=(x, y) /-pi <= x+y <= pi,-pi <= x-y <= pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D (x² - y²)·sen²(x+y) dx dy, onde D é dado por -π ≤ x+y ≤ π e -π ≤ x−y ≤ π, usando a mudança de variáveis u = x−y e v = x+y. Vamos usar esse conteúdo de Jacobiano e simetria para resolver.

Passo 2

A transformação é u = x - y e v = x + y. Daqui obtemos x = (u+v)/2 e y = (v−u)/2. O domínio D em (u,v) vira um retângulo simples: -π ≤ v ≤ π e -π ≤ u ≤ π. Para o Jacobiano, calculamos ∂(x,y)/∂(u,v):
J = ∂x/∂u & ∂x/∂v∂y/∂u & ∂y/∂v = 1/2 & 1/2-1/2 & 1/2 = (1/2)(1/2) - (1/2)(-1/2) = 1/2

Passo 3

Expressamos o integrando em função de u e v. Note que x² - y² = (x+y)(x−y) = v·u, e sen²(x+y) = sen²(v). Então
(x² - y²)·sen²(x+y),dx,dy = (u·v)·sen²(v) cdot 12,du,dv ²²²²

Passo 4

Agora avaliamos a integral no retângulo -π ≤ u ≤ π, -π ≤ v ≤ π:
integral duplaD (x² - y²)sen²(x+y) dx dy = 12 integralv=-π^π integralu=-π^π u·v·sen²(v) ,du,dv ²²²²
Podemos separar a integral em u e v, mas observe que ∫_{-π}^{π} u du = 0 por simetria ímpar de u. Logo todo o integral é zero.

Passo 5

Pela anulação da parte em u, concluímos que o valor da integral é zero.

Resposta

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