Utilizando a mudança de variáveis:
, calcule:
onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D (x² - y²)·sen²(x+y) dx dy, onde D é dado por -π ≤ x+y ≤ π e -π ≤ x−y ≤ π, usando a mudança de variáveis u = x−y e v = x+y. Vamos usar esse conteúdo de Jacobiano e simetria para resolver.
Passo 2
A transformação é u = x - y e v = x + y. Daqui obtemos x = (u+v)/2 e y = (v−u)/2. O domínio D em (u,v) vira um retângulo simples: -π ≤ v ≤ π e -π ≤ u ≤ π. Para o Jacobiano, calculamos ∂(x,y)/∂(u,v):
Passo 3
Expressamos o integrando em função de u e v. Note que x² - y² = (x+y)(x−y) = v·u, e sen²(x+y) = sen²(v). Então
Passo 4
Agora avaliamos a integral no retângulo -π ≤ u ≤ π, -π ≤ v ≤ π:
Podemos separar a integral em u e v, mas observe que ∫_{-π}^{π} u du = 0 por simetria ímpar de u. Logo todo o integral é zero.
Passo 5
Pela anulação da parte em u, concluímos que o valor da integral é zero.
Resposta
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