Seja
subconjunto de
. Resolva os seguintes itens:
(a) Defina quando
é limitado inferiormente;
(b) Defina quando
possui elemento mínimo.
(c) Mostre que
nāo é bem ordenado, isto é, existem em
subconjuntos nāo vazios, limitados inferiormente que nāo possuem elemento mínimo.
(d) Com relação a
e
são esse conjuntos bem ordenados?
(a) Defina quando
(b) Defina quando
(c) Mostre que
(d) Com relação a
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas sobre um conjunto
:
(a) Dar a definição precisa de quando é limitado inferiormente;
(b) Dar a definição precisa de quando possui elemento mínimo;
(c) Mostrar que não é bem ordenado, isto é, exibir pelo menos um subconjunto de
que seja não vazio, limitado inferiormente e que não possua elemento mínimo;
(d) Dizer se e
são, respectivamente, bem ordenados ou não, com justificativa.
(a) Dar a definição precisa de quando
(b) Dar a definição precisa de quando
(c) Mostrar que
(d) Dizer se
Informações relevantes dadas:
é um subconjunto de
; devemos trabalhar com a ordem usual em
(comparação numérica normal). Nada mais foi pedido no enunciado, então vou proceder dando definições claras, exemplos e as provas pedidas, passo a passo.
Passo 2
Definição de “limitado inferiormente” (explicação didática).
A ideia intuitiva: dizer que é limitado inferiormente significa que existe um número que está sempre à esquerda (menor ou igual) de todos os elementos de
; esse número é uma “barreira” inferior.
A ideia intuitiva: dizer que
Definição formal:
é limitado inferiormente se, e somente se, existe algum
tal que
Esse
chama-se limite inferior (ou simplesmente um coto inferior) de
.
Explicação das notações e variáveis:
-
é o conjunto dado, com elementos racionais; -
é um número racional candidato a ser limite inferior; - a condição
para todo significa exatamente que nenhum elemento de é menor que .
Exemplo simples para fixar:
Se , então qualquer
(por exemplo
ou
) é um coto inferior. O menor coto inferior que pertence a
e que ainda é menor ou igual a todos os elementos é
, que neste caso é também o mínimo de
.
Se
Passo 3
Definição de “possuir elemento mínimo” (explicação didática e diferença para limite inferior).
Intuitivamente: possuir elemento mínimo significa que dentro do próprio conjunto existe um menor elemento, isto é, um elemento que não tem ninguém menor do que ele dentro de
.
Intuitivamente: possuir elemento mínimo significa que dentro do próprio conjunto
Definição formal:
Dizemos que possui elemento mínimo se, e somente se, existe
tal que
Dizemos que
Esse
é chamado de mínimo (ou menor elemento) de
.
Diferença entre “limite inferior” e “mínimo”:
- Um limite inferior precisa estar em
, mas não precisa pertencer a . - Um mínimo tem que pertencer a
.
Exemplo para ver a diferença: tome. Então é um limite inferior racional de (porque para todo ), mas , logo não possui mínimo. Assim ter limite inferior não garante existir mínimo.
Passo 4
Escolha do exemplo em
para mostrar que
não é bem ordenado — estratégia e por que escolhi esse exemplo.
Para mostrar que não é bem ordenado eu preciso exibir um subconjunto
que seja não vazio, seja limitado inferiormente (no sentido de existir um coto inferior em
) e que não tenha elemento mínimo. Vou construir um exemplo simples e fácil de trabalhar com raciocínio elementar.
Para mostrar que
Escolhi
Motivação rápida (sem pular etapas):
contém racionais positivos cujo quadrado é menor que
. Sabemos que
é irracional, então
é não vazio e fica “colado” em cima de
, mas vamos usar uma limitação inferior racional bem simples (o zero).
Passo 5
Verificações do exemplo
.
-
é não vazio:
Mostro explicitamente um elemento de. Tome . Tem-se e . Como , então . Logo . -
é limitado inferiormente (em ):
Observe quee, por definição de , todo satisfaz . Portanto para todo . Assim é um coto inferior racional de . Logo é limitado inferiormente. -
não possui elemento mínimo — prova detalhada:
Suponha, por contradição, queseja o mínimo de . Então e (porque ). Considere agora o número racional
Como
, também
. Verificamos
(metade de um positivo é positivo). E
Como
, temos
. Logo
. Assim
.
Mas
, o que contradiz a hipótese de que
era o mínimo de
. Portanto não existe tal
. Concluímos que
não possui elemento mínimo.
- Conclusão do item (c):
Exibimos um conjuntoque é não vazio, é limitado inferiormente (pelo racional ) e não tem mínimo. Isso mostra exatamente que não é bem ordenado (pois em um conjunto bem ordenado toda parte não vazia teria mínimo).
Observação adicional (intuitiva): a “falta” do mínimo aqui está ligada ao fato de existirem racionais positivos arbitrariamente pequenos (entre
e
há sempre mais racionais), então mesmo com um coto inferior racional claro (
), dentro do conjunto não aparece o menor elemento.
Passo 6
Resposta ao item (d): são
e
bem ordenados? Justificativas didáticas.
-
é bem ordenado:
Declaração: Sim,(com a ordem usual) é bem ordenado: toda parte não vazia de tem um menor elemento.
Justificativa didática (uma prova curta e intuitiva):
Se e
, escolha qualquer
. Se
não fosse mínimo, então existe
com
. Repetindo, construiríamos uma sequência estritamente decrescente em
:
Se
Mas não existe sequência infinita estritamente decrescente de naturais porque não se pode atravessar indefinidamente para números menores sem chegar abaixo de
; ou dito de outro modo, os naturais não admitem cadeia infinita decrescente. Isso gera contradição, logo algum elemento de
deve ser mínimo. (Esta é a ideia padrão do princípio da boa ordenação de
, que também é equivalente ao princípio da indução.)
-
não é bem ordenado:
Declaração: Não,não é bem ordenado.
Contraexemplo simples:
Considere (ou, para ser mais explícito,
ou ainda
). O conjunto
é não vazio, mas não possui elemento mínimo, porque dados quaisquer
temos
e
. Assim nunca existe um menor elemento. Portanto
não é bem ordenado.
Considere
Comentário final curto: a diferença essencial é que
tem um “fundo” (um menor elemento absoluto) e não permite descidas infinitas;
não tem esse fundo, podemos sempre diminuir um inteiro e permanecer no conjunto, por isso falha a boa ordenação.
Resposta
(a)
é limitado inferiormente se existe
tal que
para todo
.\n(b)
possui elemento mínimo se existe
tal que
para todo
.\n(c) Por exemplo,
é não vazio, tem coto inferior
e não possui mínimo; logo
não é bem ordenado.\n(d)
é bem ordenado;
não é bem ordenado.