Seja A subconjunto de \mathbb{Q}. Resolva os seguintes itens:
(a) Defina quando A é limitado inferiormente;
(b) Defina quando A possui elemento mínimo.
(c) Mostre que \mathbb{Q} nāo é bem ordenado, isto é, existem em \mathbb{Q} subconjuntos nāo vazios, limitados inferiormente que nāo possuem elemento mínimo.
(d) Com relação a \mathbb{N} e \mathbb{Z} são esse conjuntos bem ordenados?

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre um conjunto A\subseteq\mathbb{Q}:
(a) Dar a definição precisa de quando A é limitado inferiormente;
(b) Dar a definição precisa de quando A possui elemento mínimo;
(c) Mostrar que \mathbb{Q} não é bem ordenado, isto é, exibir pelo menos um subconjunto de \mathbb{Q} que seja não vazio, limitado inferiormente e que não possua elemento mínimo;
(d) Dizer se \mathbb{N} e \mathbb{Z} são, respectivamente, bem ordenados ou não, com justificativa.
Informações relevantes dadas: A é um subconjunto de \mathbb{Q}; devemos trabalhar com a ordem usual em \mathbb{Q} (comparação numérica normal). Nada mais foi pedido no enunciado, então vou proceder dando definições claras, exemplos e as provas pedidas, passo a passo.

Passo 2

Definição de “limitado inferiormente” (explicação didática).
A ideia intuitiva: dizer que A é limitado inferiormente significa que existe um número que está sempre à esquerda (menor ou igual) de todos os elementos de A; esse número é uma “barreira” inferior.
Definição formal:
A é limitado inferiormente se, e somente se, existe algum m\in\mathbb{Q} tal que
m\le a\quad\text{para todo }a\in A.
Esse m chama-se limite inferior (ou simplesmente um coto inferior) de A.
Explicação das notações e variáveis:
  • A é o conjunto dado, com elementos racionais;
  • m é um número racional candidato a ser limite inferior;
  • a condição m\le a para todo a\in A significa exatamente que nenhum elemento de A é menor que m.
Exemplo simples para fixar:
Se A=\{1,2,3\}\subset\mathbb{Q}, então qualquer m\le 1 (por exemplo m=0 ou m=-5) é um coto inferior. O menor coto inferior que pertence a \mathbb{Q} e que ainda é menor ou igual a todos os elementos é m=1, que neste caso é também o mínimo de A.

Passo 3

Definição de “possuir elemento mínimo” (explicação didática e diferença para limite inferior).
Intuitivamente: possuir elemento mínimo significa que dentro do próprio conjunto A existe um menor elemento, isto é, um elemento que não tem ninguém menor do que ele dentro de A.
Definição formal:
Dizemos que A possui elemento mínimo se, e somente se, existe m\in A tal que
m\le a\quad\text{para todo }a\in A.
Esse m é chamado de mínimo (ou menor elemento) de A.
Diferença entre “limite inferior” e “mínimo”:
  • Um limite inferior precisa estar em \mathbb{Q}, mas não precisa pertencer a A.
  • Um mínimo tem que pertencer a A.
    Exemplo para ver a diferença: tome B=\{1/n:\, n\in\mathbb{N}\}\subset\mathbb{Q}. Então 0 é um limite inferior racional de B (porque 0\le 1/n para todo n), mas 0\notin B, logo B não possui mínimo. Assim ter limite inferior não garante existir mínimo.

Passo 4

Escolha do exemplo em \mathbb{Q} para mostrar que \mathbb{Q} não é bem ordenado — estratégia e por que escolhi esse exemplo.
Para mostrar que \mathbb{Q} não é bem ordenado eu preciso exibir um subconjunto A\subset\mathbb{Q} que seja não vazio, seja limitado inferiormente (no sentido de existir um coto inferior em \mathbb{Q}) e que não tenha elemento mínimo. Vou construir um exemplo simples e fácil de trabalhar com raciocínio elementar.
Escolhi
A=\{q\in\mathbb{Q}:\;0<q\text{ e }q^{2}<2\}.
Motivação rápida (sem pular etapas): A contém racionais positivos cujo quadrado é menor que 2. Sabemos que \sqrt{2} é irracional, então A é não vazio e fica “colado” em cima de \sqrt{2}, mas vamos usar uma limitação inferior racional bem simples (o zero).

Passo 5

Verificações do exemplo A=\{q\in\mathbb{Q}:\;0<q\text{ e }q^{2}<2\}.
  1. A é não vazio:
    Mostro explicitamente um elemento de A. Tome q=1. Tem-se 1>0 e 1^{2}=1<2. Como 1\in\mathbb{Q}, então 1\in A. Logo A\neq\varnothing.
  2. A é limitado inferiormente (em \mathbb{Q}):
    Observe que 0\in\mathbb{Q} e, por definição de A, todo q\in A satisfaz q>0. Portanto 0\le q para todo q\in A. Assim 0 é um coto inferior racional de A. Logo A é limitado inferiormente.
  3. A não possui elemento mínimo — prova detalhada:
    Suponha, por contradição, que m\in A seja o mínimo de A. Então m>0 e m^{2}<2 (porque m\in A). Considere agora o número racional
r=\frac{m}{2}.
Como m\in\mathbb{Q}, também r\in\mathbb{Q}. Verificamos r>0 (metade de um positivo é positivo). E
r^{2}=\left(\frac{m}{2}\right)^{2}=\frac{m^{2}}{4}.
Como m^{2}<2, temos \dfrac{m^{2}}{4}<\dfrac{2}{4}=\tfrac12<2. Logo r^{2}<2. Assim r\in A.
Mas r=\dfrac{m}{2}<m, o que contradiz a hipótese de que m era o mínimo de A. Portanto não existe tal m\in A. Concluímos que A não possui elemento mínimo.
  1. Conclusão do item (c):
    Exibimos um conjunto A\subset\mathbb{Q} que é não vazio, é limitado inferiormente (pelo racional 0) e não tem mínimo. Isso mostra exatamente que \mathbb{Q} não é bem ordenado (pois em um conjunto bem ordenado toda parte não vazia teria mínimo).
Observação adicional (intuitiva): a “falta” do mínimo aqui está ligada ao fato de existirem racionais positivos arbitrariamente pequenos (entre 0 e \sqrt{2} há sempre mais racionais), então mesmo com um coto inferior racional claro ( 0), dentro do conjunto não aparece o menor elemento.

Passo 6

Resposta ao item (d): são \mathbb{N} e \mathbb{Z} bem ordenados? Justificativas didáticas.
  1. \mathbb{N} é bem ordenado:
    Declaração: Sim, \mathbb{N} (com a ordem usual) é bem ordenado: toda parte não vazia de \mathbb{N} tem um menor elemento.
Justificativa didática (uma prova curta e intuitiva):
Se S\subseteq\mathbb{N} e S\neq\varnothing, escolha qualquer s_{0}\in S. Se s_{0} não fosse mínimo, então existe s_{1}\in S com s_{1}<s_{0}. Repetindo, construiríamos uma sequência estritamente decrescente em \mathbb{N}:
s_{0}>s_{1}>s_{2}>\cdots .
Mas não existe sequência infinita estritamente decrescente de naturais porque não se pode atravessar indefinidamente para números menores sem chegar abaixo de 0; ou dito de outro modo, os naturais não admitem cadeia infinita decrescente. Isso gera contradição, logo algum elemento de S deve ser mínimo. (Esta é a ideia padrão do princípio da boa ordenação de \mathbb{N}, que também é equivalente ao princípio da indução.)
  1. \mathbb{Z} não é bem ordenado:
    Declaração: Não, \mathbb{Z} não é bem ordenado.
Contraexemplo simples:
Considere S=\mathbb{Z} (ou, para ser mais explícito, S=\{n\in\mathbb{Z}:\\ n\le 0\} ou ainda S=\{ \dots,-3,-2,-1\}). O conjunto S é não vazio, mas não possui elemento mínimo, porque dados quaisquer z\in S temos z-1\in S e z-1<z. Assim nunca existe um menor elemento. Portanto \mathbb{Z} não é bem ordenado.
Comentário final curto: a diferença essencial é que \mathbb{N} tem um “fundo” (um menor elemento absoluto) e não permite descidas infinitas; \mathbb{Z} não tem esse fundo, podemos sempre diminuir um inteiro e permanecer no conjunto, por isso falha a boa ordenação.

Resposta

(a) A é limitado inferiormente se existe m\in\mathbb{Q} tal que m\le a para todo a\in A.\n(b) A possui elemento mínimo se existe m\in A tal que m\le a para todo a\in A.\n(c) Por exemplo, A=\{q\in\mathbb{Q}:\;0<q\text{ e }q^{2}<2\} é não vazio, tem coto inferior 0\in\mathbb{Q} e não possui mínimo; logo \mathbb{Q} não é bem ordenado.\n(d) \mathbb{N} é bem ordenado; \mathbb{Z} não é bem ordenado.

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