Determine a solução geral de t y^prime+3 y=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem o seguinte problema: determinar a solução geral da equação $ t y’ + 3 y = 3 $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Para resolver, vamos precisar conhecer o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão das equações lineares, que é $ y’ + P(t) y = Q(t) $. Para isso, dividimos todos os termos por $ t $:
y' + P(t) y = Q(t)
Aqui, identificamos que $ P(t) = \frac{3}{t} $ e $ Q(t) = \frac{3}{t} $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)
Substituindo $ P(t) $:
mu(t) = e^integral P(t) , dt

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
Isso simplifica a equação para:
t^3 y' + 3 t^2 y = 3 t^2

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
t
onde $ C $ é a constante de integração.
t^3 y = integral 3 t^2 , dt + C

Passo 6

Finalmente, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ t^3 $:
y

Resposta

A solução geral da equação é $ y = 1 + \dfrac{C}{t^{3}} $, onde $ C $ é uma constante qualquer.

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