Determine a solução geral de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem o seguinte problema: determinar a solução geral da equação $ t y’ + 3 y = 3 $. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo linear. Para resolver, vamos precisar conhecer o método das equações lineares de primeira ordem, que envolve encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para o formato padrão das equações lineares, que é $ y’ + P(t) y = Q(t) $. Para isso, dividimos todos os termos por $ t $:
Aqui, identificamos que $ P(t) = \frac{3}{t} $ e $ Q(t) = \frac{3}{t} $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Substituindo $ P(t) $:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante $ \mu(t) $:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a $ t $:
onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos $ y $ dividindo ambos os lados por $ t^3 $:
Resposta
A solução geral da equação é $ y = 1 + \dfrac{C}{t^{3}} $, onde $ C $ é uma constante qualquer.