Calcule os pontos críticos de
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular os pontos críticos da função $ f(x) = \sin x $. Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo, mais especificamente às derivadas. Para resolver, vamos precisar entender o que são pontos críticos e como encontrar a derivada da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre pontos críticos. Em Cálculo, um ponto crítico de uma função ocorre onde a sua derivada é zero ou não está definida. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na curva da função.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) = \sin x $. A derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $:
Isso significa que a inclinação da função $ \sin x $ em qualquer ponto $ x $ é dada por $ \cos x $.
Passo 4
Com a derivada em mãos, queremos saber onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a inclinação horizontal indica possíveis pontos críticos. Então, vamos resolver a equação:
Queremos encontrar todos os valores de $ x $ que satisfazem essa igualdade.
Passo 5
Sabemos que o cosseno de $ x $ é zero nos ângulos onde $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, onde $ k $ é qualquer número inteiro. Isso ocorre porque o cosseno de $ \frac{\pi}{2} $ (90 graus) é zero, e a cada $ \pi $ (180 graus) o cosseno se anula novamente.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x) = \sin x $ estão nos valores de $ x $ tais que:
Ou seja, os pontos críticos ocorrem em $ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, $ e assim por diante para todo número inteiro $ k $.