Encontre r(t) se r^prime prime(t)=3 t^2 i-8 t j+8 t^3 k e gamma(2)=3 i+7 j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função vetorial $ r(t) $ sabendo que a segunda derivada $ r’’(t) $ é $ 3t^{2} \hat{i} - 8t \hat{j} + 8t^{3} \hat{k} $ e que $ \gamma(2) = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, e vamos precisar integrar a segunda derivada duas vezes para chegar em $ r(t) $. Também vamos usar a condição dada para encontrar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar $ r’’(t) $ para encontrar $ r’(t) $, que é a velocidade. Lembrando que integrar uma função vetorial significa integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Integrando cada componente de $ r’’(t) $:
r''(t)
integral 3t^2 , dt = t^3 + C1 (i)
integral (-8t) , dt = -4t^2 + C2 (j)
Então, a função velocidade fica:
integral 8t^3 , dt = 2t^4 + C3 (k)
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são as constantes de integração que precisamos descobrir.

Passo 4

Agora, vamos integrar $ r’(t) $ para encontrar $ r(t) $, a posição. Mais uma vez, integramos cada componente:
r'(t)
r(t)
integral ( t^3 + C1 ) , dt = t^44 + C1 t + C4 (i)
Então, a função posição fica:
integral ( -4t^2 + C2 ) , dt = -43 t^3 + C2 t + C5 (j)
Agora, temos várias constantes $ C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6 $ que precisamos determinar.

Passo 5

Vamos usar a condição dada $ \gamma(2) = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. Isso significa que, quando $ t = 2 $, a posição $ r(2) $ deve ser igual a $ 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. Vamos substituir $ t = 2 $ na expressão de $ r(t) $:
gamma(2) = 3 i + 7 j
Simplificando:
t = 2
Isso nos dá o sistema de equações:
r(2)
3 i + 7 j
t = 2
Resolvendo cada equação:
Para $ \hat{i} $:
r(t)
Para $ \hat{j} $:
( 2^44 + C1 cdot 2 + C4 ) i + ( -43 cdot 2^3 + C2 cdot 2 + C5 ) j + ( 25 cdot 2^5 + C3 cdot 2 + C6 ) k = 3 i + 7 j
Para $ \hat{k} $:
( 164 + 2C1 + C4 ) i + ( -323 + 2C2 + C5 ) j + ( 645 + 2C3 + C6 ) k = 3 i + 7 j
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos de informações adicionais para determinar todas as constantes. Porém, como o problema só nos deu uma condição, vamos assumir que as constantes $ C_4, C_5, C_6 $ são zero para simplificar.
Então:
Para $ \hat{i} $:
4 + 2C1 + C4 = 3 (i)
Para $ \hat{j} $:
-323 + 2C2 + C5 = 7 (j)
Para $ \hat{k} $:
645 + 2C3 + C6 = 0 (k)

Resposta

Com as constantes determinadas, a função posição $ r(t) $ é:
r(t)

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