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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a função vetorial $ r(t) $ sabendo que a segunda derivada $ r’’(t) $ é $ 3t^{2} \hat{i} - 8t \hat{j} + 8t^{3} \hat{k} $ e que $ \gamma(2) = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Vetorial, e vamos precisar integrar a segunda derivada duas vezes para chegar em $ r(t) $. Também vamos usar a condição dada para encontrar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos integrar $ r’’(t) $ para encontrar $ r’(t) $, que é a velocidade. Lembrando que integrar uma função vetorial significa integrar cada componente separadamente.
Passo 3
Integrando cada componente de $ r’’(t) $:
Então, a função velocidade fica:
Aqui, $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são as constantes de integração que precisamos descobrir.
Passo 4
Agora, vamos integrar $ r’(t) $ para encontrar $ r(t) $, a posição. Mais uma vez, integramos cada componente:
Então, a função posição fica:
Agora, temos várias constantes $ C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6 $ que precisamos determinar.
Passo 5
Vamos usar a condição dada $ \gamma(2) = 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. Isso significa que, quando $ t = 2 $, a posição $ r(2) $ deve ser igual a $ 3 \hat{i} + 7 \hat{j} $. Vamos substituir $ t = 2 $ na expressão de $ r(t) $:
Simplificando:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo cada equação:
Para $ \hat{i} $:
Para $ \hat{j} $:
Para $ \hat{k} $:
Como temos mais incógnitas do que equações, precisamos de informações adicionais para determinar todas as constantes. Porém, como o problema só nos deu uma condição, vamos assumir que as constantes $ C_4, C_5, C_6 $ são zero para simplificar.
Então:
Para $ \hat{i} $:
Para $ \hat{j} $:
Para $ \hat{k} $:
Resposta
Com as constantes determinadas, a função posição $ r(t) $ é: