Determine a solução geral de:
(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}-5 y=0, x>0).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^2y'' + 5x,y' - 5y = 0, x>0
Este é um caso clássico de equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional), em que procuramos uma solução do tipo y = x^r.

Passo 2

Assumimos y = x^r. Então
y' = r,x^r-1, y'' = r(r-1),x^r-2
Substituindo na equação original:
x^2l[r(r-1)x^r-2r] + 5xl[r,x^r-1r] -5l[x^rr] = 0
Isso simplifica para
r(r-1)x^r + 5r,x^r -5x^r = 0

Passo 3

Fatorando x^rneq0, obtemos a equação característica
r(r-1) + 5r - 5 = 0 Longrightarrow r^2 +4r -5 = 0
Resolvendo-a:
r = -4 pm raiz4^2 -4cdot1cdot(-5)2 = -4 pm raiz16+202 = -4 pm 62,
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r1 = 1, r2 = -5

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são distintas, a solução geral da equação de Euler é
y(x) = C1,x^r1 + C2,x^r2 = C1,x^1 + C2,x^-5

Resposta

y(x) = C1,x + C2,x^-5

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