Determine a solução geral de:
(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}-5 y=0, x>0).
(x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}-5 y=0, x>0).
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso clássico de equação de Cauchy–Euler (ou equidimensional), em que procuramos uma solução do tipo
.
Passo 2
Assumimos
. Então
Substituindo na equação original:
Isso simplifica para
Passo 3
Fatorando
, obtemos a equação característica
Resolvendo-a:
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Passo 4
Como as raízes
e
são distintas, a solução geral da equação de Euler é