Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo.
lim x infty ln (ln (x))x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyln(ln(x))x
Observamos que conforme xtoinfty, temos ln(x)toinfty e portanto ln(ln(x))toinfty, gerando uma indeterminação do tipo infty/infty. Vamos usar a regra de L’Hôpital, que diz que se lim f(x)=lim g(x)=infty (ou zero) e as derivadas existem, então
limxto af(x)g(x) =limxto af'(x)g'(x),
desde que esse último limite exista.

Passo 2

Confirmamos a forma indeterminada:
ln(ln(x))toinfty e xtoinfty. Logo é caso de infty/infty.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador:
ddxl[ln(ln(x))r] =1ln(x)cdot1x =1x,ln(x),
ddx[x]=1
Pela regra de L’Hôpital,
limxtoinftyln(ln(x))x =limxtoinfty1/(xln(x))1 =limxtoinfty1x,ln(x)

Passo 4

Quando xtoinfty, o produto xln(x)toinfty, então a recíproca
1x,ln(x)to0
Portanto o limite original vale 0.

Resposta

0

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