Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
u=x e^prime, x=alpha^2 beta, y=beta^2 gamma, t=gamma^2 alpha;
partial upartial alpha, partial upartial beta, partial upartial gamma quando alpha=-1, beta=2, gamma=1

Passo 1

Resumindo, temos a função composta
u = x,e^y,t,
onde
x = alpha^2,beta, y = beta^2,gamma, t = gamma^2,alpha
O conteúdo é a Regra da Cadeia para obter partial u/partial alpha, partial u/partial beta e partial u/partial gamma.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas parciais de u em relação a x, y e t. Como
u(x,y,t)=x,e^y,t,
temos
ux = e^y,t, uy = x,t,e^y,t, ut = x,y,e^y,t

Passo 3

Agora, as derivadas parciais de x,y,t em relação a alpha,beta,gamma:
xalpha &= 2,alpha,beta, &xbeta &= alpha^2, &xgamma &= 0, yalpha &= 0, &ybeta &= 2,beta,gamma, &ygamma &= beta^2, talpha &= gamma^2, &tbeta &= 0, &tgamma &= 2,gamma,alpha

Passo 4

Aplicando a Regra da Cadeia:
partial upartial alpha = ux,xalpha + uy,yalpha + ut,talpha,
partial upartial beta = ux,xbeta + uy,ybeta + ut,tbeta,
partial upartial gamma = ux,xgamma + uy,ygamma + ut,tgamma

Passo 5

Em alpha=-1, beta=2, gamma=1 calculamos primeiro
x = alpha^2beta = 1cdot2=2, y = beta^2gamma =4cdot1=4, t = gamma^2alpha =1cdot(-1)=-1,
e e^y,t=e^4cdot(-1)=e^-4 Substituindo:
partial upartial alpha = e^-4(2,alphabeta) + l(x,y,e^-4r)(gamma^2) = e^-4l(-4 +8r) =4,e^-4,
partial upartial beta = e^-4(alpha^2) + l(x,t,e^-4r)(2,beta,gamma) = e^-4l(1 -8r) =-7,e^-4,
partial upartial gamma = l(x,t,e^-4r)(beta^2) + l(x,y,e^-4r)(2,gamma,alpha) = e^-4,2l(-4 -8r) =-24,e^-4

Resposta

partial upartial alpha=4,e^-4,
partial upartial beta=-7,e^-4,
partial upartial gamma=-24,e^-4

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