Determine a solução geral de:
(x+2)^2 y^prime prime+3(x+2) y^prime-3 y=0
usando uma transformação adequada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral de
(x+2)^2y''+3(x+2)y'-3y=0
Esse tipo de equação é da forma de Cauchy–Euler (ou equidimensional em x). Para resolver, fazemos a transformação
t = x+2
que coloca a equação na forma padrão de Euler.

Passo 2

Como t=x+2, temos
dydx=dydt,dtdx=dydt, d^2ydx^2=d^2ydt^2
Substituindo em termos de t, a equação vira:

Passo 3

t^2d^2ydt^2+3tdydt-3y=0
Isso é exatamente a equação de Cauchy–Euler padrão.

Passo 4

Procuramos uma solução do tipo
y=t^r
Então
dydt=r,t^r-1, d^2ydt^2=r(r-1),t^r-2
Substituindo na equação em t obtemos a característica:
t^2l[r(r-1)t^r-2r]+3tl[r,t^r-1r]-3,t^r=0 ;Longrightarrow; r(r-1)+3r-3=0,
ou seja,
r^2+2r-3=0

Passo 5

Resolvendo
r^2+2r-3=0 Longrightarrow r=-2pmraiz4+122=-2pm42,
obtêm-se as raízes
r1=1, r2=-3
Logo a solução geral em t é
y(t)=C1,t^1+C2,t^-3
Voltando a t=x+2, temos

Resposta

y(x)=C1,(x+2)+C2,(x+2)^-3

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