Verifique se o campo vetorial V(x, y)=(-y, x) é conservativo.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial V(x,y)=(-y,x) e pede para verificar se é conservativo. O conteúdo aqui é cálculo vetorial: um campo V=(P,Q) em um domínio simplesmente conectado é conservativo se e somente se existir phi(x,y) tal que nablaphi=V. Uma condição necessária e suficiente para isso é
partial Ppartial y ;=;partial Qpartial x

Passo 2

Identificamos as componentes de V:
P(x,y) = -y, Q(x,y) = x
Segundo a teoria, uma função potencial phi deveria satisfazer phix = P e phiy = Q.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais envolvidas na condição de integrabilidade:
partial Ppartial y =partial(-y)partial y=-1, partial Qpartial x =partial(x)partial x=1

Passo 4

Observamos que
partial Ppartial y = -1 neq 1 = partial Qpartial x
Logo a condição partial P/partial y = partial Q/partial x falha em R^2, de modo que não existe potencial phi.

Resposta

O campo V(x,y)=(-y,x) não é conservativo.

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