Use o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação:
em torno de
. Encontre a equação indicial e as primeiras soluções.
Passo 1
Estamos diante da equação
que é a equação de Bessel de ordem 1 em torno de
. Para aplicar o método de Frobenius, vamos buscar soluções da forma
e determinar o expoente
e a recorrência entre os
.
Passo 2
Substituímos
em
. Após alinhar as potências de
, o coeficiente de
(isto é,
) dá a equação indicial:
Passo 3
Da equação indicial
vem as raízes
Como
, haverá uma solução analítica sem log e outra contendo termo em
.
Passo 4
Para
obtemos a recorrência, para
:
Além disso, pelo caso
surge
. Escolhendo
, calculamos
e assim a primeira solução é
Passo 5
Para
a recorrência em certo passo envolve divisão por zero, indicando que a segunda solução não é apenas série de potências mas inclui
. O formato é
Em particular, perto de
temos
Resposta
A equação indicial é
e a solução geral em série de Frobenius é