Use o método de Frobenius para encontrar a solução geral da equação:
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-1) y=0
em torno de x=0. Encontre a equação indicial e as primeiras soluções.

Passo 1

Estamos diante da equação
x^2y''+x,y'+(x^2-1)y=0
que é a equação de Bessel de ordem 1 em torno de x=0. Para aplicar o método de Frobenius, vamos buscar soluções da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
e determinar o expoente r e a recorrência entre os an.

Passo 2

Substituímos
y=sumn=0^infty an x^n+r, y'=sumn=0^infty an(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^infty an(n+r)(n+r-1)x^n+r-2
em x^2y''+x,y'+(x^2-1)y=0. Após alinhar as potências de x^n+r, o coeficiente de x^r (isto é, n=0) dá a equação indicial:
a0l[r(r-1)+r-1r]=a0(r^2-1)=0

Passo 3

Da equação indicial
r^2-1=0
vem as raízes
r1=1, r2=-1
Como r1-r2=2inZ, haverá uma solução analítica sem log e outra contendo termo em ln x.

Passo 4

Para r=r1=1 obtemos a recorrência, para n>=2:
anl[(n+1)^2-1r]+an-2=0 Longrightarrow an=-an-2(n+1)^2-1=-an-2n(n+2)
Além disso, pelo caso n=1 surge a1=0. Escolhendo a0=1, calculamos
a2=-12cdot4=-18, a4=-a24cdot6=18cdot24=1192,
e assim a primeira solução é
y1(x)=x^1l(1-tfracx^28+tfracx^4192+cdotsr) =x-x^38+x^5192+cdots

Passo 5

Para r=r2=-1 a recorrência em certo passo envolve divisão por zero, indicando que a segunda solução não é apenas série de potências mas inclui ln x. O formato é
y2(x)=y1(x),ln x +;x^-1l(1-tfracx^28+tfrac3x^4384+cdotsr)
Em particular, perto de x=0 temos
y2(x)=l(x-tfracx^38+cdotsr)ln x +l(x^-1-tfracx8+cdotsr)

Resposta

A equação indicial é
r^2-1=0Rightarrow r=1,,-1,
e a solução geral em série de Frobenius é
y(x)=C1l(x-tfracx^38+tfracx^5192+cdotsr) + C2l[(x-tfracx^38+cdots)ln x +(x^-1-tfracx8+cdots)r]

Exercícios relacionados