Para a equação:
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+y=0
Classifique o ponto x=0 e encontre a solução geral.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^2y''+3x,y'+y=0
e pede (i) classificar o ponto x=0 e (ii) encontrar a solução geral. Vamos usar o conceito de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem e o método de Euler/Frobenius.

Passo 2

Dividindo por x^2 (assumindo xneq0), colocamos a equação na forma padrão
y''+p(x),y'+q(x),y=0,
onde
p(x)=3xx^2=3x, q(x)=1x^2

Passo 3

Analisamos a singularidade em x=0:
p(x) tem pólo de ordem 1 em x=0.
q(x) tem pólo de ordem 2 em x=0.
Como x,p(x)=3 e x^2q(x)=1 são analíticos em x=0, concluímos que x=0 é um ponto singular regular.

Passo 4

Para resolver usamos o ansatz de Euler/Frobenius y=x^r. Substituindo em
x^2y''+3x y'+y=0 obtém-se o polinômio indicial:
r(r-1)+3r+1=r^2+2r+1=0Longrightarrow (r+1)^2=0
Logo a raiz é r=-1 de multiplicidade 2.

Passo 5

Como a raiz é dupla, a segunda solução envolve ln(x). Assim a solução geral é
y(x)=C1,x^-1+C2,x^-1ln(x)

Resposta

Ponto singular em x=0: regular.
Solução geral:
y(x)=C1x^-1+C2x^-1ln(x)

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