Para a equação:
Classifique o ponto
e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede (i) classificar o ponto
e (ii) encontrar a solução geral. Vamos usar o conceito de pontos singulares em equações lineares de segunda ordem e o método de Euler/Frobenius.
Passo 2
Dividindo por
(assumindo
), colocamos a equação na forma padrão
onde
Passo 3
Analisamos a singularidade em
:
– tem pólo de ordem
em
.
– tem pólo de ordem
em
.
Como e
são analíticos em
, concluímos que
é um ponto singular regular.
–
–
Como
Passo 4
Para resolver usamos o ansatz de Euler/Frobenius
. Substituindo em
obtém-se o polinômio indicial:
Logo a raiz é
de multiplicidade
.
Passo 5
Como a raiz é dupla, a segunda solução envolve
. Assim a solução geral é
Resposta
Ponto singular em
: regular.
Solução geral:
Solução geral: