Determine a solução geral de:
y’’ (+5 y^{\prime}+4 y=0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 5y' + 4y = 0
Para resolver vamos usar o método do polinômio característico: supor uma solução da forma y=e^rx, obter uma equação algébrica em r e encontrar as raízes.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação diferencial, vem
r^2e^rx + 5re^rx + 4e^rx = 0
Como e^rxneq0, o fator que multiplica deve ser zero, gerando o polinômio característico
r^2 + 5r + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 5r + 4 = 0
podemos fatorar
(r + 1)(r + 4) = 0,
o que dá as raízes reais e distintas
r1 = -1, r2 = -4

Passo 4

Para raízes reais e distintas r1 e r2, a solução geral da equação homogênea é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 e r2, obtemos
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-4x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Resposta

y(x) = C1 e^-x + C2 e^-4x

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