Soluções que não podem ser expressas em termos de funções elementares. Conforme discutimos no Cálculo, certas primitivas (antiderivadas) como
integral e^x^2 d x não podem ser expressas em termos finitos usando funções elementares. Quando tal integral é encontrada enquanto se resolve a equação diferencial, normalmente é útil usar a integrais indefinidas (integrais com limite superior variável). Por exemplo, considere o problema de valor inicial
A equação diferencial separa se dividirmos por
y^2 e multiplicarmos por
d x . Integramos a equação de separação de
x=2 para
x=x1 e encontramos
integralx=2^x=x1 e^x^2 d x & =integralx=2^x=x1 d yy^2 & =-1y|x=2 ^x=x1 & =-1y(x1)+1y(2)
Se considerarmos
t a variável de integração e substituirmos
x1 por
x e
y(2) por 1, então podemos expressar a solução do problema de valor inicial por
y(x)=(1-integral2^x e^t^2 d t)^-1
Use a integral indefinida para encontrar uma solução explícita para os problemas do valor inicial nos itens (a)-(c).
d y / d x=e^x^2 y^-2 ,
y(0)=1