Determine a solução geral de:
(y^{\prime \prime}+4 y=0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 0
Vamos usar o método da equação característica para resolver.

Passo 2

Substituímos y = e^r x na equação e obtemos a equação característica
r^2 + 4 = 0

Passo 3

Resolvendo
r^2 = -4
r = pm 2i

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha=0 e beta=2, a solução geral em termos reais é
y(x) = C1 e^alpha xcos(beta x) + C2 e^alpha xsin(beta x),
isto é,
y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x)

Resposta

y(x) = C1 cos(2x) + C2 sin(2x).

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