Determine a solução geral de:
(y^{\prime \prime}-y=0)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária linear homogênea com coeficientes constantes
,y^primeprime-y=0.
O conteúdo usado aqui é o método do polinômio característico, que consiste em assumir soluções exponenciais e encontrar as raízes do polinômio resultante.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo
y(x)=e^r x
Então
y^primeprime(x)=r^2e^r x
Substituindo em ,y^primeprime-y=0 obtemos
r^2e^r x-e^r x=0
Como e^r xneq0, divide-se por e^r x e chega-se ao polinômio característico
r^2-1=0

Passo 3

Resolvendo o polinômio
r^2-1=0
temos
r^2=1 Longrightarrow r=pm1

Passo 4

As raízes e são reais e distintas. Logo, a solução geral da EDO é
onde e ãá

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^-x

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