Em cada um dos itens abaixo é dada uma equação diferencial linear de segunda ordem e um par de condições iniciais. Primeiro verifique que y1 e y2 são soluções da equação diferencial e depois encontre uma solução particular da forma y(x)=c1 y1+c2 y2 que satisfaça as condições iniciais dadas.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=0 ; y1=x, y2=x^2 ; y(1)=3, y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de segunda ordem
x^2y'' - 2x,y' + 2y = 0,
as soluções candidatas y1(x)=x e y2(x)=x^2, e as condições iniciais y(1)=3 e y'(1)=1. Vamos verificar que y1 e y2 satisfazem a equação e depois montar a solução geral
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)
para ajustar c1 e c2 pelas condições iniciais.

Passo 2

Para y1(x)=x temos
y1'(x)=1, y1''(x)=0
Substituindo na equação:
x^2cdot0 ;-;2xcdot1 ;+;2cdot x = -2x+2x = 0
Logo, y1 é solução.

Passo 3

Para y2(x)=x^2 temos
y2'(x)=2x, y2''(x)=2
Substituindo:
x^2cdot2 ;-;2xcdot(2x);+;2cdot x^2 = 2x^2-4x^2+2x^2=0
Portanto, y2 também satisfaz a equação.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=c1x + c2x^2
Para aplicar as condições iniciais, calculamos
y'(x)=c1+2c2x

Passo 5

Usando
Subtraindo a primeira equação da segunda vem .

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
y(x)=5x - 2x^2

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