Determine a solução geral de y^prime prime+3 y^prime+2 y=0 e, caso possível, o comportamento das soluções nas infinitudes pm infty.

Passo 1

Temos uma EDO linear homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes: y'' + 3y' + 2y = 0. Para resolver, precisamos montar e resolver a equação característica.

Passo 2

A equação característica é obtida trocando y por e^lambda x, o que dá
lambda^2 + 3lambda + 2 = 0

Passo 3

Resolvendo lambda^2 + 3lambda + 2 = 0 usando fatoração ou fórmula de Bhaskara, encontramos as raízes lambda1 = -1 e lambda2 = -2.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Para x to +infty, ambos os termos e^-x e e^-2x tendem a zero, então y(x)to 0. Para x to -infty, e^-x e e^-2x tendem a +infty, logo |y(x)| cresce sem limite, a menos que C1=C2=0.

Resposta

A solução geral é y(x) = C1 e^-x + C2 e^-2x. Como x to +infty, y(x)to 0. Como x to -infty, |y(x)|to infty (crescimento exponencial).

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