Use a Definição (3.1) para obter o coeficiente angular da tangente ao gráfico de f em P(a, f(a)). (b) Determine a equação da tangente em P(2, f(2)).
f(x)=x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o coeficiente angular da tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^4 $ no ponto $ P(a, f(a)) $ usando a definição de derivada (Definição 3.1). Além disso, depois disso, precisamos determinar a equação da tangente especificamente no ponto $ P(2, f(2)) $. Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada usando o limite e aplicar isso no nosso caso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada de uma função. A derivada $ f’(a) $ nos dá a inclinação da reta tangente ao gráfico de $ f $ no ponto $ P(a, f(a)) $. A definição de derivada (Definição 3.1) é dada por:
f'(a)
Isso significa que a derivada é o limite da taxa de variação média da função quando o intervalo $ h $ se aproxima de zero.

Passo 3

Vamos aplicar essa definição à nossa função $ f(x) = x^4 $. Queremos encontrar $ f’(a) $:
f(x) = x^4
Agora, vamos expandir $ (a + h)^4 $ usando a fórmula do binômio de Newton:
f'(a)
Substituindo isso na expressão da derivada:
f'(a) = limh to 0 (a + h)^4 - a^4h

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
f'(a) = limh to 0 4a^3h + 6a^2h^2 + 4a h^3 + h^4h
Agora, podemos dividir cada termo do numerador por $ h $:
h

Passo 5

Agora, como $ h $ está se aproximando de 0, todos os termos que contêm $ h $ vão se tornar zero:
h
Então, o coeficiente angular da tangente no ponto $ P(a, f(a)) $ é $ 4a^3 $.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b) do exercício: determinar a equação da tangente no ponto $ P(2, f(2)) $.
Primeiro, vamos calcular $ f(2) $:
P(2, f(2))
Então, o ponto é $ P(2, 16) $.

Passo 7

Já sabemos que o coeficiente angular $ m $ da tangente é $ f’(a) $. No nosso caso, $ a = 2 $:
m
Então, a inclinação da tangente é 32.

Passo 8

Agora, para encontrar a equação da reta tangente, podemos usar a fórmula da equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ (x_1, y_1) $ é o ponto de tangência $ P(2, 16) $ e $ m $ é o coeficiente angular que encontramos.
Substituindo os valores:
(x1, y1)

Resposta

A equação da tangente ao gráfico de $ f(x) = x^4 $ no ponto $ P(2, 16) $ é:
f(x) = x^4

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