Questão 5. Calcule:
a derivada de f(x)=raiz3 x^6+7e^x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=raiz3x^6+7e^x+1
O que precisamos usar é a regra do quociente para derivadas, mais a regra da cadeia para a raiz quadrada, e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Definimos o numerador
u(x)=raiz3x^6+7=(3x^6+7)^1/2
Pela regra da cadeia,
u'(x)=12(3x^6+7)^-1/2cdot(3x^6+7)' = 1218x^5raiz3x^6+7 = 9x^5raiz3x^6+7

Passo 3

O denominador é
v(x)=e^x+1,
cuja derivada é
v'(x)=e^x

Passo 4

Pela regra do quociente,
f'(x) =v(x),u'(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =(e^x+1),u'(x)-u(x),e^x(e^x+1)^2

Passo 5

Substituindo u,u',v,v' na fórmula, obtemos
f'(x) =(e^x+1),9x^5raiz3x^6+7 -;e^x,raiz3x^6+7(e^x+1)^2
Multiplicando numerador e denominador por raiz3x^6+7 para simplificar, fica
f'(x) =9x^5(e^x+1)-e^x(3x^6+7) raiz3x^6+7,(e^x+1)^2

Resposta

f'(x) =9x^5(e^x+1)-e^x(3x^6+7) raiz3x^6+7,(e^x+1)^2

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