Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{3} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y''-2y'+y = x^{3}e^{x}\cos x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, com coeficientes constantes.
  • O termo de forçamento (lado direito) é x^{3}e^{x}\cos x.
  • Queremos a solução geral, ou seja a soma da solução geral da homogênea e de uma particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica substituindo y\mapsto e^{rx}:
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo:
(r-1)^{2}=0 \implies r=1 \text{ (raiz dupla).}
Para uma raiz dupla r=1 a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher método para achar uma solução particular y_{p} da equação completa. Aqui o lado direito é do tipo polinômio de grau 3 multiplicado por e^{ax}\cos(bx) com a=1,\; b=1. O método mais limpo é usar o método dos coeficientes indeterminados via complexificação: vemos x^{3}e^{x}\cos x como a parte real de
x^{3}e^{(1+i)x}.
Usamos a propriedade de operadores: se L(D) é o operador linear L(D)=D^{2}-2D+1 com D=\dfrac{d}{dx}, então
L(D)\big[e^{ax}u(x)\big]=e^{ax}L(D+a)\big[u(x)\big].
Vamos aplicar isso com a=1+i. Isso transforma o problema para encontrar um polinômio p(x) tal que
L(D+a)[p(x)] = x^{3},
pois ao multiplicar por e^{(1+i)x} recuperamos o RHS complexo. Depois tomaremos a parte real.

Passo 4

Calcular explicitamente L(D+a)\) com \(a=1+i\): \[L(D+a)=(D+a)^{2}-2(D+a)+1 = D^{2}+(2a-2)D+(a^{2}-2a+1).
Observamos a-1=i, então
a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}=i^{2}=-1, \qquad 2a-2=2i.
Portanto
L(D+a)=D^{2}+2iD-1.
Procuramos p(x) como polinômio de grau 3 (mesmo grau do polinômio do RHS):
p(x)=c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0}.
Calculemos D p e D^{2}p:
Dp=3c_{3}x^{2}+2c_{2}x+c_{1},\qquad D^{2}p=6c_{3}x+2c_{2}.
Agora L(D+a)[p]=D^{2}p+2iDp-p. Agrupando por potências de x obtemos:
  • Coeficiente de x^{3}: -c_{3}.
  • Coeficiente de x^{2}: 6i c_{3}-c_{2}.
  • Coeficiente de x^{1}: 6c_{3}+4i c_{2}-c_{1}.
  • Coeficiente constante: 2c_{2}+2i c_{1}-c_{0}.
Queremos que isso seja igual ao polinômio x^{3}, ou seja coeficientes [1,0,0,0]. Assim resolvemos o sistema:
\begin{cases} -c_{3}=1,\\[4pt] 6i c_{3}-c_{2}=0,\\[4pt] 6c_{3}+4i c_{2}-c_{1}=0,\\[4pt] 2c_{2}+2i c_{1}-c_{0}=0. \end{cases}
Resolver passo a passo:
  • Da 1ª equação: c_{3}=-1\]. - 2ª: \(6i(-1)-c_{2}=0 \implies -6i-c_{2}=0 \implies c_{2}=-6i.
    - 3ª: 6(-1)+4i(-6i)-c_{1}=0. Note 4i(-6i)=-24i^{2}=24. Então -6+24-c_{1}=0 que dá c_{1}=18.
    - 4ª: 2(-6i)+2i(18)-c_{0}=0 \implies -12i+36i-c_{0}=0 \implies 24i-c_{0}=0 então c_{0}=24i.
Logo
p(x) = -x^{3} -6i x^{2} + 18 x + 24 i.]

Passo 5

Construir a solução particular complexa
y_{p}^{\text{(c)}}(x)=e^{(1+i)x}p(x).
Escrevemos p(x)=U(x)+iV(x) com
U(x)=-x^{3}+18x,\qquad V(x)=-6x^{2}+24.
Então
y_{p}^{\text{(c)}}(x)=e^{x}e^{ix}(U+iV)=e^{x}\big[(U+iV)(\cos x + i\sin x)\big].
A parte real (que é a solução particular real da nossa equação) é
y_{p}(x)=\Re\big(y_{p}^{\text{(c)}}(x)\big) = e^{x}\big[U(x)\cos x - V(x)\sin x\big].
Substituindo U e V:
y_{p}(x)=e^{x}\Big[(-x^{3}+18x)\cos x + (6x^{2}-24)\sin x\Big].

Passo 6

Construir a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x} + e^{x}\Big[(-x^{3}+18x)\cos x + (6x^{2}-24)\sin x\Big].
Podemos fatorar e^{x} se quisermos:
y(x)=e^{x}\Big[C_{1}+C_{2}x -x^{3}\cos x +18x\cos x +6x^{2}\sin x -24\sin x\Big].

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x} + e^{x}\Big[(-x^{3}+18x)\cos x + (6x^{2}-24)\sin x\Big].

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