(0.5) Determine a solução do P.V.I
ccc 1 & se & 0 <= t <= 10 0 & se & t>10

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y''+3y'+2y = f(t), y(0)=0,;y'(0)=0,
onde
f(t)= 1,&0<= t<= 10, 0,&t>10
O conteúdo é equações diferenciais lineares e usaremos transformada de Laplace e propriedade de deslocamento no tempo.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando Ly(s)=Y(s) e as condições iniciais nulas:
Ly''+3Ly'+2Ly =Y(s)(s^2+3s+2)
Do lado direito,
Lf(s) =integral0^10e^-st,dt =1-e^-10ss
Logo
Y(s)=1-e^-10ss,(s^2+3s+2) =1-e^-10ss,(s+1),(s+2)

Passo 3

Fazemos a decomposição em frações parciais de
1s(s+1)(s+2):
1s(s+1)(s+2) =As+Bs+1+Cs+2
Resolvendo dá A=tfrac12, B=-1, C=tfrac12, ou seja
1s(s+1)(s+2) =12,1s -1s+1 +12,1s+2

Passo 4

Invertendo a transformada de cada termo, obtemos a função
g(t)=L^-1tfrac1s(s+1)(s+2) =tfrac12 - e^-t +tfrac12,e^-2t, t>=0

Passo 5

Como
Y(s)=1s(s+1)(s+2)-e^-10ss(s+1)(s+2),
pela propriedade de deslocamento em tempo a segunda parte gera
,g(t-10),u(t-10). Logo a solução completa é
y(t)=g(t)-g(t-10),u(t-10)

Passo 6

Escrevendo de forma explícita em cada intervalo:
para 0<= t<= 10 temos u(t-10)=0, então
y(t)=tfrac12 - e^-t + tfrac12 e^-2t
Para t>10, u(t-10)=1 e
y(t)=l[tfrac12 - e^-t + tfrac12 e^-2tr] -l[tfrac12 - e^-(t-10) + tfrac12 e^-2(t-10)r]

Resposta

Para 0<= t<= 10:
y(t)=tfrac12 - e^-t + tfrac12 e^-2t
Para t>10:
y(t)=l(tfrac12 - e^-t + tfrac12 e^-2tr) -l(tfrac12 - e^-(t-10) + tfrac12 e^-2(t-10)r)

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