(0.5) Determine a solução do P.V.I
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
onde
O conteúdo é equações diferenciais lineares e usaremos transformada de Laplace e propriedade de deslocamento no tempo.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, usando
Ly(s)=Y(s) e as condições iniciais nulas:
Do lado direito,
Logo
Passo 3
Fazemos a decomposição em frações parciais de
1s(s+1)(s+2) :
Resolvendo dá
A=tfrac12 ,
B=-1 ,
C=tfrac12 , ou seja
Passo 4
Invertendo a transformada de cada termo, obtemos a função
Passo 5
Como
Y(s)=1s(s+1)(s+2)-e^-10ss(s+1)(s+2),
pela propriedade de deslocamento em tempo a segunda parte gera
,g(t-10),u(t-10) . Logo a solução completa é
pela propriedade de deslocamento em tempo a segunda parte gera
Passo 6
Escrevendo de forma explícita em cada intervalo:
para0<= t<= 10 temos
u(t-10)=0 , então
para
Para
t>10 ,
u(t-10)=1 e
Resposta
Para
0<= t<= 10 :
Para
t>10 :