Resolva a equação |x-2|+|4 x+1|=3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x-2| + |4x+1| = 3
O conteúdo é equações com valor absoluto. Para resolver, vamos identificar onde cada expressão interna muda de sinal e, em cada região, eliminar o valor absoluto de forma adequada.

Passo 2

As expressões trocam de sinal em x-2=0 e em 4x+1=0, isto é, em x=2 e em x=-tfrac14. Então dividimos a reta real em três intervalos:
(-infty,,-tfrac14), [-tfrac14,,2), [2,,infty)
Em cada um, substituímos |x-2| e |4x+1| pelos sinais correspondentes.

Passo 3

Intervalo x< -tfrac14:
x-2<0, 4x+1<0,
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|x-2| = 2 - x, |4x+1| = -(4x+1) = -4x-1
Substituindo em |x-2|+|4x+1|=3:
(2 - x) + (-4x-1) = 3 Longrightarrow 1 - 5x = 3 Longrightarrow x = -tfrac25
Como -tfrac25 < -tfrac14, essa solução é válida.

Passo 4

Intervalo -tfrac14 <= x < 2:
x-2<0, 4x+1>=0,
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|x-2| = 2 - x, |4x+1| = 4x+1
Substituindo:
(2 - x) + (4x + 1) = 3 Longrightarrow 3x + 3 = 3 Longrightarrow x = 0
Como 0in[-tfrac14,2), essa solução é válida.

Passo 5

Intervalo x >= 2:
x-2>=0, 4x+1>=0,
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|x-2| = x - 2, |4x+1| = 4x+1
Substituindo:
(x - 2) + (4x + 1) = 3 Longrightarrow 5x - 1 = 3 Longrightarrow x = tfrac45
Mas tfrac45<2, então não pertence ao intervalo e é descartado.

Resposta

As soluções da equação são
x = -tfrac25 e x = 0

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