Determine a solução do P.V.I. diário+e^{t} y=0 \quad y(0)=3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede resolver o P.V.I. dydt+e^ty=0, com condição inicial y(0)=tfrac32. Isso é uma EDO linear de primeira ordem, e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Identificamos p(t)=e^t. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr)=expl(e^tr)

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(t) obtemos
mu(t),dydt+mu(t),p(t),y =ddtl(mu(t),yr)=0
Integrando em t
mu(t),y=C

Passo 4

Daí a solução geral é
y(t)=C,expl(-e^tr)
Impondo y(0)=tfrac32:
y(0)=C,e^-1=tfrac32 Longrightarrow C=tfrac32,e
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y(t)=tfrac32,e;expl(-e^tr) =tfrac32,expl(1-e^tr)

Resposta

y(t)=32,expl(1-e^tr)

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