Determine a solução do P.V.I.: doty+(sen t) y=0 y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
doty + (sin t),y = 0, y(0)=2
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem, homogênea. Podemos resolvê-la por separação de variáveis (ou reconhecendo que é do tipo dot y = -(sin t),y).

Passo 2

Reescrevendo em forma separável, temos
dot y = -sin t;y Longrightarrow 1y,dydt = -sin t
Agora integramos ambos os lados em t.

Passo 3

Integrando,
integral 1y,dy = integral -sin t,dt
ln|y| = cos t + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando,
y = A,e^cos t, com A = e^C

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y(0)=A,e^cos 0=A,e^1=2 Longrightarrow A = 2e^-1
Logo a solução particular é
y(t) = 2e^-1,e^cos t = 2,e^cos t - 1

Resposta

y(t) = 2,e^cos t - 1

Exercícios relacionados