Determine a solução do P.V.I.: doty-3 t^2 y=t^2, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação linear de primeira ordem
doty-3t^2y = t^2,
com condição y(0)=1. Para isso vamos usar o método do fator integrante, que transforma a equação num diferencial exato.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão doty+p(t)y=q(t), onde aqui p(t)=-3t^2 e q(t)=t^2. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integral -3t^2,dtr) =exp(-t^3) =e^-t^3

Passo 3

Multiplicando toda a equação por mu(t) obtemos
e^-t^3doty-3t^2e^-t^3y =;t^2e^-t^3,
e o lado esquerdo é exatamente o derivado de y,e^-t^3. Logo
ddtl(y,e^-t^3r) = t^2e^-t^3

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^-t^3 =integral t^2e^-t^3,dt + C
Para calcular a integral, fazemos a substituição u=-t^3, du=-3t^2dt, daí
integral t^2e^-t^3,dt =-tfrac13integral e^u,du =-tfrac13e^u =-tfrac13e^-t^3

Passo 5

Substituindo na expressão geral:
y,e^-t^3 =-tfrac13e^-t^3 + C Longrightarrow y=-tfrac13 + C,e^t^3

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1:
1 = -tfrac13 + C,e^0 ;Longrightarrow; C = 1 + tfrac13 = tfrac43

Resposta

y(t)= -tfrac13 + tfrac43,e^t^3

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