Verifique se a série
sumn=1^infty 1n^2+1
converge ou diverge. Justifique sua resposta com um teste apropriado.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty 1n^2+1
converge ou diverge. Estamos no conteúdo de séries numéricas e vamos usar um teste de comparação para decidir isso.

Passo 2

Lembramos que a p-série
sumn=1^infty1n^2
converge, pois é uma p-série com p=2>1. Essa será nossa série de referência.

Passo 3

Para todo n>=1 vale
n^2+1 > n^2 Longrightarrow 1n^2+1 < 1n^2
Como 1n^2+1>=0 e sum 1/n^2 converge, podemos aplicar o teste da comparação direta.

Passo 4

Pelo teste da comparação direta, se 0<= an<= bn e sum bn converge, então sum an também converge. Aqui an=1/(n^2+1) e bn=1/n^2, logo
sumn=1^infty1n^2+1
converge.

Resposta

A série converge.

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