a) Mostre que a sequência é crescente.
b) Mostre que é limitada superiormente por 3 .
c) Conclua que a sequência converge e determine seu limite.
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede que mostremos:
(a) é crescente;
(b) é limitada superiormente por ;
(c) conclua que converge e calcule o limite.
Para isso vamos usar cálculo de derivadas (para monotonicidade), expansão binomial (para o limite superior) e propriedades de limites.
Passo 2
Definimos a função em variável real
Para ver se é crescente estudamos
Derivando,
Com note que
pois a função satisfaz e
Logo e portanto . Assim é crescente, também, e em particular é crescente.
Passo 3
Para limitar por cima usamos a expansão binomial em forma de soma de termos positivos: