Seja a sequência bn definida por:
bn=(1+1n)^n
a) Mostre que a sequência bn é crescente.
b) Mostre que bn é limitada superiormente por 3 .
c) Conclua que a sequência converge e determine seu limite.

Passo 1

O enunciado define a sequência
bn=l(1+1nr)^n
e pede que mostremos:
  • (a) bn é crescente;
  • (b) bn é limitada superiormente por 3;
  • (c) conclua que converge e calcule o limite.
    Para isso vamos usar cálculo de derivadas (para monotonicidade), expansão binomial (para o limite superior) e propriedades de limites.

Passo 2

Definimos a função em variável real
f(x)=l(1+1xr)^x, x>0
Para ver se f é crescente estudamos
ln f(x)=xlnl(1+1xr)
Derivando,
ddxl[ln f(x)r] =lnl(1+1xr) +xcdot11+1/xcdotl(-1x^2r) =lnl(1+1xr)-1x+1
Com t=1/x>0 note que
ln(1+t)-t1+t>0,
pois a função h(t)=ln(1+t)-tfract1+t satisfaz h(0)=0 e
h'(t)=11+t-1+t-(t)(1+t)^2 =t(1+t)^2>0
Logo ln(1+t)>tfract1+t e portanto tfracddx[ln f(x)]>0. Assim ln f é crescente, f também, e em particular bn=f(n) é crescente.

Passo 3

Para limitar por cima usamos a expansão binomial em forma de soma de termos positivos:
bn =l(1+1nr)^n =sumk=0^nbinomnk1n^k =1+1+sumk=2^n1k!,underbracel(1cdotn-1ncdotsn-k+1nr)<=1
Como cada produto interno é <=1,
bn<= 2+sumk=2^n1k! <=2+sumk=2^infty1k! =sumk=0^infty1k!=e
E sabemos que e<3. Logo bn<3 para todo n.

Passo 4

Temos que bn é crescente e limitada superiormente por 3. Pelo Teorema de Convergência Monótona segue que bn converge. Para achar o limite L usamos
ln bn =nlnl(1+1nr) =ln(1+1/n)1/n ;xrightarrow[ntoinfty];1,
pois ln(1+x)/xto1 quando xto0. Portanto
L=limntoinftybn =expl(limntoinftyln bnr) =e

Resposta

A sequência bn é crescente, tem bn<3 e converge. O seu limite é
boxede

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