Determine a solução geral da equação: doty+2 t y=t.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem não homogênea
doty + 2,t,y = t
O conteúdo envolvido é método do fator integrante para equações lineares do tipo doty+p(t),y=q(t).

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão
doty+p(t),y=q(t),
onde p(t)=2t e q(t)=t. O fator integrante mu(t) satisfaz
mu(t)=exp!l(integral p(t),dtr) =exp!l(integral 2t,dtr) =exp(t^2)

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t)=e^t^2, obtendo
e^t^2doty + 2t,e^t^2y = t,e^t^2
O lado esquerdo é a derivada de e^t^2y, logo
ddtl(e^t^2yr) = t,e^t^2
Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t^2y = integral t,e^t^2,dt + C
Fazendo a substituição u=t^2, du=2t,dt, vem
integral t,e^t^2,dt =12integral e^u,du =12,e^u =12,e^t^2
Portanto
e^t^2y = 12,e^t^2 + C

Passo 4

Isolando y, dividimos por e^t^2:
y(t) = 12 + C,e^-t^2,
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(t) = 12 + C,e^-t^2

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