Determine a solução do P.V.I.
l y^primet-2 y=1 y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
dfracy't-2y=1, y(0)=0,
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear em y, mas singular em t=0. Vamos reescrever em forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t, obtemos a forma
y'-2t,y = t
Esta é uma EDO linear do tipo
y'+P(t),y=Q(t),
com P(t)=-2t e Q(t)=t. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral -2t,dtr)=e^-t^2
Multiplicando a equação por mu(t), fica
e^-t^2y' -2t,e^-t^2y = t,e^-t^2,
que reconhecemos como a derivada do produto:
ddtl(y,e^-t^2r)=t,e^-t^2

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
y,e^-t^2=integral t,e^-t^2,dt + C
Como
integral t,e^-t^2,dt = -tfrac12,e^-t^2,
temos
y,e^-t^2=-tfrac12,e^-t^2+C Longrightarrow y=-tfrac12 + C,e^t^2

Passo 4

Impondo a condição inicial y(0)=0, obtemos
0=-tfrac12 + Ccdot e^0 Longrightarrow C=tfrac12
Portanto a solução geral que satisfaz y(0)=0 é
y(t)=-tfrac12 + tfrac12,e^t^2

Resposta

y(t)=tfrac12l(e^t^2-1r)

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