Determine a solução do P.V.I.
l t y^prime+2 y=4 t^2 y(1)=2

Passo 1

Tranquilo, o enunciado define o problema de valor inicial
t,y' + 2,y = 4t^2, y(1)=2
Isso é uma EDO linear de primeira ordem; vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos em forma padrão dividindo por t (assumindo tneq0):
y' + 2t,y = 4t
O fator integrante é
mu(t) = e^integral 2t,dt = e^2ln|t| = t^2

Passo 3

Multiplicamos a equação padrão por mu(t)=t^2, obtendo
t^2,y' + 2t,y = 4t^3,
que reconhecemos como a derivada exata
l(t^2,yr)' = 4t^3
Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2,y = integral 4t^3,dt = t^4 + C

Passo 4

Isolando y, vem
y = t^2 + C,t^-2
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=2:
1 + C = 2Longrightarrow C=1

Passo 5

Substituindo C=1 na expressão geral, concluímos que
y(t) = t^2 + 1t^2

Resposta

y(t) = t^2 + 1t^2

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