Determine a solução dos P.V.I.'s:
doty=(cos t) y, y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
doty = (cos t),y, y(0)=1
Este é um E.D.O. de primeira ordem linear e, mais especificamente, separável. Para resolvê-lo, vamos usar o método de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevendo a equação diferencial, temos
dydt = cos(t),y
Como yneq0 na região de interesse, podemos dividir por y e separar as variáveis:
1y,dy = cos(t),dt

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral cos(t),dt
No lado esquerdo a primitiva é ln|y|, e no direito é sin(t) mais constante C. Assim,
ln|y| = sin(t) + C

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, exponenciamos:
y = e^sin(t) + C = e^C ,e^sin(t)
Chamando e^C de K, obtemos
y(t) = K,e^sin(t)

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Como sin(0)=0, temos
1 = y(0) = K,e^sin(0) = K,e^0 = K
Logo K=1 e a solução final é
y(t) = e^sin(t)

Resposta

A solução do P.V.I. é
y(t) = e^sin(t)

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