Determine a solução dos P.V.I.'s:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (P.V.I.)
Este é um E.D.O. de primeira ordem linear e, mais especificamente, separável. Para resolvê-lo, vamos usar o método de separação de variáveis e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
Passo 2
Reescrevendo a equação diferencial, temos
Como
na região de interesse, podemos dividir por
e separar as variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
No lado esquerdo a primitiva é
, e no direito é
mais constante
. Assim,
Passo 4
Para eliminar o logaritmo, exponenciamos:
Chamando
de
, obtemos
Passo 5
Usamos a condição inicial
. Como
, temos
Logo
e a solução final é
Resposta
A solução do P.V.I. é