Encontre o limite. Use a regra do L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra do L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x infty(x e^1x-x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(xe^1/x-xr)
Isso é um caso de indeterminação do tipo infty-infty. Vamos usar uma manipulação algébrica para transformar em uma forma 0/0 e então aplicar a regra de L’H^opital.

Passo 2

Fatoramos x em evidência:
xe^1/x-x = xl(e^1/x-1r)
Como xtoinfty, temos e^1/x-1to0 e xtoinfty, portanto o produto é do tipo inftycdot0.

Passo 3

Para aplicar L’H^opital, reescrevemos o produto como quociente:
xl(e^1/x-1r) = e^1/x-11/x
Agora, ao xtoinfty, o numerador to0 e o denominador to0, gerando a indeterminação 0/0.

Passo 4

Aplicamos a regra de L’H^opital diferenciando numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
ddxl(e^1/x-1r) = e^1/xcdotddxl(1/xr) = e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r)
Derivada do denominador:
ddxl(1/xr) = -tfrac1x^2

Passo 5

O quociente das derivadas é
e^1/xcdot(-1/x^2)-1/x^2 = e^1/x
Portanto
limxtoinftye^1/x-11/x = limxtoinftye^1/x

Passo 6

Como 1/xto0 quando xtoinfty, temos
limxtoinftye^1/x = e^0 = 1

Resposta

1

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