Encontre o limite. Use a regra do L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra do L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular
Isso é um caso de indeterminação do tipo
. Vamos usar uma manipulação algébrica para transformar em uma forma
e então aplicar a regra de L’H^opital.
Passo 2
Fatoramos
em evidência:
Como
, temos
e
, portanto o produto é do tipo
.
Passo 3
Para aplicar L’H^opital, reescrevemos o produto como quociente:
Agora, ao
, o numerador
e o denominador
, gerando a indeterminação
.
Passo 4
Aplicamos a regra de L’H^opital diferenciando numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Passo 5
O quociente das derivadas é
Portanto
Passo 6
Como
quando
, temos