Encontre o limite. Use a regra do L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra do L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x infty x tan (1x);

Passo 1

Estamos calculando o limite
limxtoinfty x,tan!l(tfrac1xr)
Aqui, quando xtoinfty temos tfrac1xto0, logo xcdottan(1/x) fica com a forma indeterminada inftycdot0. Para resolver sem complicar, vamos usar uma substituição que transforma essa indeterminação num quociente do tipo 0/0 e aplicar um limite conhecido.

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = tfrac1x,
de modo que, quando xtoinfty, tto0^+. Note também que x = 1/t. Substituindo em x,tan(1/x) obtemos
x,tan!l(tfrac1xr) = 1t,tan(t) = tan(t)t

Passo 3

Usamos o limite fundamental de trigonometria
limtto0tan(t)t = 1

Passo 4

Como tan(t)tto1 quando tto0, voltando à variável x concluímos que
limxtoinftyx,tan!l(tfrac1xr) = 1

Resposta

1

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