Queståo 1. (Valor 2,0) Determine k para que:
Os vetores (1,2,1) ;(2, k, 1) ;(k, 3, k) não formem uma base de R:

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3,
(1,2,1), (2,k,1) e (k,3,k), e pede os valores de k para que eles não formem uma base de R^3. O conteúdo aqui é independência linear em R^3, e vamos usar o fato de que três vetores formam base exatamente quando o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores é diferente de zero.

Passo 2

Montamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = 1 & 2 & 1 2 & k & 1 k & 3 & k
Eles deixam de ser base exatamente quando det A = 0.

Passo 3

Calculamos o determinante por desenvolvimento na primeira linha:
det A = 1cdotdetk & 1 3 & k ;-;2cdotdet2 & 1 k & k ;+;1cdotdet2 & k k & 3
Agora cada menor:
detk & 1 3 & k = k^2 - 3, det2 & 1 k & k = 2k - k = k,
det2 & k k & 3 = 2cdot 3 - k^2 = 6 - k^2
Substituindo:
det A = (k^2-3) - 2,(k) + (6 - k^2) = k^2 - 3 - 2k + 6 - k^2 = 3 - 2k

Passo 4

Impondo det A = 0:
3 - 2k = 0 ;Longrightarrow; 2k = 3 ;Longrightarrow; k = tfrac32
Para k=tfrac32 o determinante zera e os vetores deixam de ser base.

Resposta

k = tfrac32

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