Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
.
Passo 1
Temos a equação diferencial não homogênea
. É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para achar uma solução particular vamos usar o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea associada
. A equação característica é
com raízes
e
. Logo as soluções homogêneas são
e
.
Passo 3
Como o lado direito é
e ambas as funções aparecem na homogênea, multiplicamos por
ao propor o palpite. Então assumimos
para o termo
e
para o termo
.
Passo 4
Para
calculamos as derivadas:
Substituindo em
obtemos
Igualando a
dá
, logo
. Assim
Passo 5
Para
temos:
Substituindo no operador:
Igualando a
dá
, logo
. Então
Passo 6
A solução particular completa é a soma das duas partes: