Determine uma solução particular para cada uma das seguintes equações:
ddoty-3 doty+2 y=e^t+e^2 t.

Passo 1

Temos a equação diferencial não homogênea ddot y - 3dot y + 2y = e^t + e^2t. É uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Para achar uma solução particular vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea associada ddot y - 3dot y + 2y = 0. A equação característica é
r^2 - 3r + 2 = 0
com raízes r=1 e r=2. Logo as soluções homogêneas são e^t e e^2t.

Passo 3

Como o lado direito é e^t + e^2t e ambas as funções aparecem na homogênea, multiplicamos por t ao propor o palpite. Então assumimos
yp1 = A,t,e^t
para o termo e^t e
yp2 = B,t,e^2t
para o termo e^2t.

Passo 4

Para yp1 calculamos as derivadas:
yp1 = A t e^t, yp1' = A e^t(t+1), yp1'' = A e^t(t+2)
Substituindo em ddot y - 3dot y + 2y obtemos
L[yp1] = A e^t[(t+2) -3(t+1) +2t] = -A e^t
Igualando a e^t -A e^t = e^t, logo A = -1. Assim
yp1 = -t e^t

Passo 5

Para yp2 temos:
yp2 = B t e^2t, yp2' = B e^2t(2t+1), yp2'' = B e^2t(4t+4)
Substituindo no operador:
L[yp2] = B e^2t[(4t+4) -3(2t+1) +2t] = B e^2t
Igualando a e^2t B e^2t = e^2t, logo B=1. Então
yp2 = t e^2t

Passo 6

A solução particular completa é a soma das duas partes:
yp = yp1 + yp2 = -t e^t + t e^2t

Resposta

yp(t) = -t e^t + t e^2t

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