Seja f:[-4 ; 4] R a função definida por
f(x)=c 0, se -4 <= x<-2 4-x^2,-2 <= x<2 0, x >= 2
Calcule a série de Fourier da função f(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo f(x) . A matéria que estamos usando aqui é a Série de Fourier, que permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os conceitos básicos de séries de Fourier, identificar se a função é par ou ímpar (isso ajuda a simplificar a série) e calcular os coeficientes da série.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $:
f(x)
Ela é definida de forma simétrica em torno do eixo y, ou seja, é uma função par porque $ f(-x) = f(x) $. Isso significa que na série de Fourier só teremos termos de cosseno, já que os termos de seno desaparecem para funções pares.

Passo 3

Vamos determinar o período da função. Como a função está definida no intervalo [-4, 4], o período $ T $ é $ 8 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
T

Passo 4

A série de Fourier para uma função par pode ser escrita apenas com termos de cosseno:
f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(n omega0 x)
Onde:
  • $ a_0 $ é o termo constante.
  • $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.

Passo 5

Vamos calcular o termo $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo:
a0
Como a função é par, podemos simplificar a integral de a0 = 1T integral-4^4 f(x) , dx a -4 para duas vezes a integral de 4 a 0:
4

Passo 6

Dentro de 0 a 4, a função $ f(x) $ é:
f(x)
Então, a integral fica:
f(x) = 4 - x^2, & 0 <= x < 2 0, & 2 <= x <= 4

Passo 7

Calculando a integral:
integral0^2 (4 - x^2) , dx = [ 4x - x^33 ]0^2 = ( 4 times 2 - 83 ) - 0 = 8 - 83 = 163
Então,
a0 = 14 times 163 = 43

Passo 8

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $:
an
Novamente, como a função é par, podemos simplificar:
an = 2T integral-4^4 f(x) cos(n omega0 x) , dx

Passo 9

Dividimos a integral conforme a definição de $ f(x) $:
f(x)

Passo 10

Para calcular essa integral, vamos resolver termo a termo:
integral (4 - x^2) cos(npi4 x) , dx = 4 integral cos(npi4 x) , dx - integral x^2 cos(npi4 x) , dx
Usaremos a integração por partes para resolver essas integrais.

Passo 11

Primeira parte:
4 integral cos(npi4 x) , dx = 4 ( 4npi sin(npi4 x) ) = 16npi sin(npi4 x)
Segunda parte:
Para $ \int x^2 \cos\left(\frac{n\pi}{4} x\right) , dx $, aplicamos integração por partes duas vezes e obtemos:
integral x^2 cos(npi4 x) , dx

Passo 12

Então, juntando tudo:
integral0^2 (4 - x^2) cos(npi4 x) , dx = [ 16npi sin(npi4 x) - ( x^2 cdot 4npi sin(npi4 x) - 8x(npi)^2 cos(npi4 x) + 32(npi)^3 sin(npi4 x) ) ]0^2

Passo 13

Calculando nos limites de 0 a 2:
Ao substituir x = 2:
16npi sin(npi2) - ( 4 cdot 4npi sin(npi2) - 16(npi)^2 cos(npi2) + 32(npi)^3 sin(npi2) )
E ao substituir x = 0, todos os termos com x desaparecem, restando apenas 0.

Passo 14

Simplificando:
integral0^2 (4 - x^2) cos(npi4 x) , dx = 16npi sin(npi2) - 16npi sin(npi2) + 16(npi)^2 cos(npi2) - 32(npi)^3 sin(npi2)
Os termos $ \frac{16}{n\pi} \sin\left(\frac{n\pi}{2}\right) $ se cancelam:
16npi sin(npi2)

Passo 15

Agora, multiplicando pelo $ \frac{1}{2} $:
12

Passo 16

Então, a série de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

Resposta

A série de Fourier da função $ f(x) $ é:
f(x)

Exercícios relacionados