Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a série de Fourier da função $ f(x) $ definida no intervalo f(x) . A matéria que estamos usando aqui é a Série de Fourier, que permite representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para resolver isso, a gente vai precisar entender os conceitos básicos de séries de Fourier, identificar se a função é par ou ímpar (isso ajuda a simplificar a série) e calcular os coeficientes da série.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) $:
f(x)
Ela é definida de forma simétrica em torno do eixo y, ou seja, é uma função par porque $ f(-x) = f(x) $. Isso significa que na série de Fourier só teremos termos de cosseno, já que os termos de seno desaparecem para funções pares.
Passo 3
Vamos determinar o período da função. Como a função está definida no intervalo [-4, 4], o período $ T $ é $ 8 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
T
Passo 4
A série de Fourier para uma função par pode ser escrita apenas com termos de cosseno:
f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(n omega0 x)
Onde:
$ a_0 $ é o termo constante.
$ a_n $ são os coeficientes dos cossenos.
Passo 5
Vamos calcular o termo $ a_0 $, que representa a média da função no intervalo:
a0
Como a função é par, podemos simplificar a integral de a0 = 1T integral-4^4 f(x) , dx a -4 para duas vezes a integral de 4 a 0: