Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
onde
Passo 1
O problema é a equação da onda unidimensional
Temos
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
e condições iniciais
O que precisamos: usar separação de variáveis e expandir as condições iniciais em série de senos (autofunções do problema de Sturm–Liouville).
Passo 2
Começamos assumindo solução da forma
Aqui cada modo
satisfaz as condições de contorno, e as frequências
.
Passo 3
Para determinar
usamos a condição inicial
. Pela ortogonalidade dos senos em
:
Fazendo integração por partes em
obtemos
logo
Passo 4
Para determinar
usamos
. Novamente pela série e ortogonalidade:
Multiplicando por
e integrando,
de onde
Calculando essa integral por partes (ou separando
em duas integrais) chega-se a
Passo 5
Reunindo tudo, a solução do problema de valor de contorno é
Passo 6
Esse desenvolvimento resolve o problema da equação da onda com as condições iniciais dadas.
Resposta
u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{4}x\Bigr)\Bigl[\frac{8(-1){n+1}}{n\pi}\cos\Bigl(\frac{n\pi}{4}t\Bigr)+\frac{8\bigl(1+3(-1)n\bigr)}{n2\pi^2}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{4}t\Bigr)\Bigr]