Encontre a solução para o seguinte problema de valor de contorno
ux x & =ut t, 0 <= x <= 4 u(0, t) & =u(4, t)=0 u(x, 0) & =f(x) ut(x, 0) & =g(x)
onde
f(x) & =x g(x) & =1-x

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
Temos
uxx = utt, 0 <= x <= 4, t>0,
com condições de contorno de Dirichlet homogêneas
u(0,t)=0, u(4,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x)=x, ut(x,0)=g(x)=1-x
O que precisamos: usar separação de variáveis e expandir as condições iniciais em série de senos (autofunções do problema de Sturm–Liouville).

Passo 2

Começamos assumindo solução da forma
u(x,t)=sumn=1^infty l(Ancosl(tfracnpi4tr)+Bnsinl(tfracnpi4tr)r)sinl(tfracnpi4xr)
Aqui cada modo sin(tfracnpi4x) satisfaz as condições de contorno, e as frequências omegan=tfracnpi4.

Passo 3

Para determinar An usamos a condição inicial u(x,0)=f(x). Pela ortogonalidade dos senos em [0,4]:
An = 24 integral0^4 f(x)sinl(tfracnpi4xr),dx = 12integral0^4 xsinl(tfracnpi4xr),dx
Fazendo integração por partes em
I=integral0^4 xsinl(tfracnpi4xr),dx,
obtemos
I = -16npi(-1)^n,
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An = 12I = 8(-1)^n+1npi

Passo 4

Para determinar Bn usamos ut(x,0)=g(x). Novamente pela série e ortogonalidade:
ut(x,0)=sumn=1^infty Bn,tfracnpi4sinl(tfracnpi4xr)=g(x)
Multiplicando por sin(tfracmpi4x) e integrando,
Bn npi4 42 = integral0^4(1-x)sinl(tfracnpi4xr),dx
de onde
Bn = 2npiintegral0^4(1-x)sinl(tfracnpi4xr),dx
Calculando essa integral por partes (ou separando 1-x em duas integrais) chega-se a
Bn = 8l(1+3(-1)^nr)n^2pi^2

Passo 5

Reunindo tudo, a solução do problema de valor de contorno é
u(x,t)=sumn=1^inftysinl(tfracnpi4xr)[8(-1)^n+1npicosl(tfracnpi4tr)+8l(1+3(-1)^nr)n^2pi^2sinl(tfracnpi4tr)]

Passo 6

Esse desenvolvimento resolve o problema da equação da onda com as condições iniciais dadas.

Resposta

u(x,t)=\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{4}x\Bigr)\Bigl[\frac{8(-1){n+1}}{n\pi}\cos\Bigl(\frac{n\pi}{4}t\Bigr)+\frac{8\bigl(1+3(-1)n\bigr)}{n2\pi^2}\sin\Bigl(\frac{n\pi}{4}t\Bigr)\Bigr]

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