Determine a solução particular da EDO:
com a condição inicial
. (Dica: identifique o expoente
e use a substituição
.)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com a condição inicial
.
A tarefa é encontrar a solução particular que satisfaz essa condição inicial. Anotei as informações relevantes: a equação é de primeira ordem e temos um valor inicial em .
A tarefa é encontrar a solução particular que satisfaz essa condição inicial. Anotei as informações relevantes: a equação é de primeira ordem e temos um valor inicial em
Passo 2
Vamos identificar a forma da equação e o expoente indicado na dica. A equação pode ser escrita do tipo
Comparando com a dada, obtemos
,
e o expoente
A dica sugere usar a substituição
. Como
, a substituição será
. Vou explicar por que isso ajuda: a substituição transforma a equação de Bernoulli numa equação linear de primeira ordem em
, que sabemos resolver com fator integrante.
Passo 3
Definimos a substituição explicitamente:
Agora calculamos a derivada
em termos de
e
. Como
,
Esta relação permitirá eliminar
da equação original e obter uma equação em
.
Passo 4
Usamos a fórmula geral de transformação para Bernoulli (mostro a derivação de forma curta e clara):
partindo de e fazendo
, tem-se
partindo de
Isolando
e substituindo na equação original e simplificando, obtemos a equação linear para
:
Agora aplicamos com
,
e
.
Passo 5
Substituindo os valores de
,
e
na equação transformada:
Calculando os fatores:
, então
ou seja
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 6
Resolvemos a equação linear
usando fator integrante. O fator integrante é
Multiplicamos a equação por
para obter uma derivada exata:
que é a mesma coisa que
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Então
Passo 8
Voltamos à variável original
usando
. Temos
Para determinar
, aplicamos a condição inicial
. Quando
e
,
Daí
.
Passo 9
Substituímos
na expressão para
:
Invertendo para obter
,
Tomamos a raiz quadrada. Como
, escolhemos o sinal positivo da raiz:
Passo 10
Observação sobre domínio (importante na prova): a solução só faz sentido enquanto o radicando for positivo, ou seja, para
, isto é
. A condição inicial
satisfaz isso, então a solução particular com a condição dada é válida num intervalo contendo
.