Determine a solução particular da EDO:
y^{\prime}-\frac{2}{x} y=x^{3} y^{3}
com a condição inicial y(1)=1. (Dica: identifique o expoente n e use a substituição v=y^{1-n}.)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
y^{\prime}-\frac{2}{x} y=x^{3} y^{3},
com a condição inicial \,y(1)=1.
A tarefa é encontrar a solução particular que satisfaz essa condição inicial. Anotei as informações relevantes: a equação é de primeira ordem e temos um valor inicial em x=1.

Passo 2

Vamos identificar a forma da equação e o expoente indicado na dica. A equação pode ser escrita do tipo
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}.
Comparando com a dada, obtemos p(x)=-\dfrac{2}{x}, q(x)=x^{3} e o expoente
n=3.
A dica sugere usar a substituição v=y^{1-n}. Como n=3, a substituição será v=y^{-2}. Vou explicar por que isso ajuda: a substituição transforma a equação de Bernoulli numa equação linear de primeira ordem em v, que sabemos resolver com fator integrante.

Passo 3

Definimos a substituição explicitamente:
v = y^{1-n} = y^{-2}.
Agora calculamos a derivada v' em termos de y e y'. Como v=y^{-2},
v' = -2\,y^{-3}\,y'.
Esta relação permitirá eliminar y' da equação original e obter uma equação em v.

Passo 4

Usamos a fórmula geral de transformação para Bernoulli (mostro a derivação de forma curta e clara):
partindo de y' + p\,y = q\,y^{n} e fazendo v=y^{1-n}, tem-se
v' = (1-n)\,y^{-n}\,y'.
Isolando y' e substituindo na equação original e simplificando, obtemos a equação linear para v:
v' + (1-n)\,p(x)\,v = (1-n)\,q(x).
Agora aplicamos com n=3, p(x)=-\dfrac{2}{x} e q(x)=x^{3}.

Passo 5

Substituindo os valores de n, p e q na equação transformada:
v' + (1-3)\left(-\frac{2}{x}\right)v = (1-3)\,x^{3}.
Calculando os fatores: 1-3=-2, então
v' + (-2)\left(-\frac{2}{x}\right)v = -2\,x^{3},
ou seja
v' + \frac{4}{x}\,v = -2\,x^{3}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 6

Resolvemos a equação linear
v' + \frac{4}{x}\,v = -2\,x^{3}
usando fator integrante. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right) = \exp(4\ln x) = x^{4}.
Multiplicamos a equação por \mu(x)=x^{4} para obter uma derivada exata:
x^{4}v' + 4x^{3}v = -2x^{7},
que é a mesma coisa que
\bigl(x^{4}v\bigr)' = -2x^{7}.

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{4}v = \int -2x^{7}\,dx = -2\cdot\frac{x^{8}}{8} + C = -\frac{x^{8}}{4} + C,
onde C é constante de integração. Então
v = -\frac{x^{8}}{4x^{4}} + \frac{C}{x^{4}} = -\frac{x^{4}}{4} + Cx^{-4}.

Passo 8

Voltamos à variável original y usando v=y^{-2}. Temos
y^{-2} = -\frac{x^{4}}{4} + Cx^{-4}.
Para determinar C, aplicamos a condição inicial y(1)=1. Quando x=1 e y=1,
1^{-2} = 1 = -\frac{1^{4}}{4} + C\cdot 1^{-4} = -\frac{1}{4} + C.
Daí C = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}.

Passo 9

Substituímos C=\dfrac{5}{4} na expressão para y^{-2}:
y^{-2} = -\frac{x^{4}}{4} + \frac{5}{4}x^{-4} = \frac{-x^{8}+5}{4x^{4}}.
Invertendo para obter y^{2},
y^{2} = \frac{4x^{4}}{-x^{8}+5} = \frac{4x^{4}}{5 - x^{8}}.
Tomamos a raiz quadrada. Como y(1)=1>0, escolhemos o sinal positivo da raiz:
y = \frac{2x^{2}}{\sqrt{5-x^{8}}}.

Passo 10

Observação sobre domínio (importante na prova): a solução só faz sentido enquanto o radicando for positivo, ou seja, para 5-x^{8}>0, isto é |x|<5^{1/8}. A condição inicial x=1 satisfaz isso, então a solução particular com a condição dada é válida num intervalo contendo x=1.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{2x^{2}}{\sqrt{5-x^{8}}}

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