Encontre a solução da equação de Bernoulli:
sujeita à condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
com
.
As informações relevantes são:
As informações relevantes são:
O que precisa ser encontrado é a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Este é um caso da equação de Bernoulli, de forma geral
Aqui temos
,
e
. A ideia padrão é fazer a substituição
Vou explicar por que isso funciona: calcule
a partir de
. Usando derivada de potência,
Despejando
em função de
obtemos
Substituímos essa expressão na equação original.
Passo 3
Substituindo
na equação original:
Dividindo tudo por
(isso é válido quando
; a solução contínua dada pela condição inicial não produz
aqui):
Como
, fica
Multiplicando por
para escrever na forma padrão de equação linear:
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Para resolver a equação linear
usamos o fator integrante. Para uma equação
o fator integrante é
. Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, ou seja
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial. Lembremos que
. Como
, temos
. Substituindo
na expressão de
:
Daí
Portanto
Passo 6
Voltamos à variável
usando
. Assim
Multiplicando numerador e denominador por
para simplificar:
Podemos também manipular o denominador fatorando
:
então uma forma alternativa é
Ambas expressões são equivalentes; a segunda às vezes é mais conveniente para avaliar
.