Encontre a solução da equação de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}+3 y=e^{-x} y^{2}
sujeita à condição inicial y(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{d y}{d x}+3 y=e^{-x} y^{2},
com y(0)=1.
As informações relevantes são:
\text{(i)}\quad \frac{d y}{d x}+3 y=e^{-x} y^{2}, \qquad \text{(ii)}\quad y(0)=1.
O que precisa ser encontrado é a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Este é um caso da equação de Bernoulli, de forma geral
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}.
Aqui temos P(x)=3, Q(x)=e^{-x} e n=2. A ideia padrão é fazer a substituição
v=y^{1-n}=y^{1-2}=y^{-1}.
Vou explicar por que isso funciona: calcule v' a partir de v=y^{-1}. Usando derivada de potência,
v'=\frac{d}{dx}(y^{-1})=-1\cdot y^{-2}\cdot \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Despejando \frac{dy}{dx} em função de v' obtemos
\frac{dy}{dx}=-y^{2}v'.
Substituímos essa expressão na equação original.

Passo 3

Substituindo \frac{dy}{dx}=-y^{2}v' na equação original:
- y^{2} v' + 3y = e^{-x} y^{2}.
Dividindo tudo por y^{2} (isso é válido quando y\neq0; a solução contínua dada pela condição inicial não produz y\equiv0 aqui):
- v' + 3 y^{-1} = e^{-x}.
Como y^{-1}=v, fica
- v' + 3 v = e^{-x}.
Multiplicando por -1 para escrever na forma padrão de equação linear:
v' - 3 v = -e^{-x}.
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para v(x).

Passo 4

Para resolver a equação linear
v' - 3 v = -e^{-x},
usamos o fator integrante. Para uma equação v' + p(x)v = g(x) o fator integrante é \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui p(x)=-3, logo
\mu(x)=e^{\int -3\,dx}=e^{-3x}.
Multiplicando a equação por \mu(x):
e^{-3x} v' - 3 e^{-3x} v = - e^{-3x} e^{-x} = - e^{-4x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto (e^{-3x} v), ou seja
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-3x} v\bigr) = - e^{-4x}.
Integramos ambos os lados em x:
e^{-3x} v = \int - e^{-4x}\,dx = \frac{1}{4} e^{-4x} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
v = \frac{1}{4} e^{-x} + C e^{3x}.

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial. Lembremos que v=y^{-1}. Como y(0)=1, temos v(0)=1. Substituindo x=0 na expressão de v:
v(0)=\frac{1}{4} e^{0} + C e^{0} = \frac{1}{4} + C = 1.
Daí
C=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.
Portanto
v(x)=\frac{1}{4} e^{-x} + \frac{3}{4} e^{3x}.

Passo 6

Voltamos à variável y usando y=v^{-1}. Assim
y(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{4} e^{-x} + \dfrac{3}{4} e^{3x}}.
Multiplicando numerador e denominador por 4 para simplificar:
y(x)=\frac{4}{e^{-x}+3 e^{3x}}.
Podemos também manipular o denominador fatorando e^{-x}:
e^{-x}+3 e^{3x}=e^{-x}\bigl(1+3 e^{4x}\bigr),
então uma forma alternativa é
y(x)=\frac{4 e^{x}}{1+3 e^{4x}}.
Ambas expressões são equivalentes; a segunda às vezes é mais conveniente para avaliar y(0).

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{4}{e^{-x}+3 e^{3x}}=\frac{4 e^{x}}{1+3 e^{4x}}

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