Resolva a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
sujeita à condição inicial
. Indique o tipo da equação e aplique a substituição apropriada para reduzi-la a uma equação linear.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com a condição inicial
.
Pede-se: indicar o tipo da equação e aplicar a substituição apropriada para reduzi-la a uma equação linear, e resolver o problema com a condição inicial dada.
Pede-se: indicar o tipo da equação e aplicar a substituição apropriada para reduzi-la a uma equação linear, e resolver o problema com a condição inicial dada.
Passo 2
Vamos identificar o tipo da equação. A equação tem a forma
com
,
e
. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. A técnica padrão para resolver uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
Aqui, como
, devemos escolher
Vou explicar por que: essa substituição transforma o termo não linear
em uma função linear de
, e permite reduzir a equação a uma equação linear de primeira ordem em
.
Passo 3
Calculemos a derivada de
em função de
:
Agora manipulamos a equação original para aparecer
. Dividindo ambos os lados de
por
obtemos
Substituímos
e
. Assim a equação fica
Passo 4
Reescrevendo em forma linear padrão:
Esta é uma equação linear de primeira ordem na forma
onde
e
.
Explicando o método do fator integrante: para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
a esquerda torna-se a derivada de
, isto é,
Passo 5
Aqui
, então
Multiplicando a equação
por
obtemos
e a esquerda é a derivada
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda é
. Para a integral à direita fazemos integração por partes. Primeiro calculamos
. Tomando
,
temos
,
, então
Portanto
Passo 6
Com isso temos
onde
é constante de integração. Multiplicando por
,
Lembrando que
, obtemos a solução geral para
:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
. Para
:
Isso implica
, logo
.
Substituindo
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
Passo 8
Verificação rápida (recomendável na prova): calcule
para
:
Então
e
As duas expressões coincidem, logo a solução está correta. Observação sobre domínio: a solução é válida para
; a condição inicial em
é compatível.