Resolva a seguinte equação diferencial de Bernoulli:
\frac{d y}{d x}+y=x y^{2}
sujeita à condição inicial y(0)=1. Indique o tipo da equação e aplique a substituição apropriada para reduzi-la a uma equação linear.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+y=x y^{2}
com a condição inicial y(0)=1.
Pede-se: indicar o tipo da equação e aplicar a substituição apropriada para reduzi-la a uma equação linear, e resolver o problema com a condição inicial dada.

Passo 2

Vamos identificar o tipo da equação. A equação tem a forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n}
com P(x)=1, Q(x)=x e n=2. Essa é exatamente a forma da equação de Bernoulli. A técnica padrão para resolver uma equação de Bernoulli é fazer a substituição
u = y^{\,1-n}.
Aqui, como n=2, devemos escolher
u = y^{\,1-2}=y^{-1}.
Vou explicar por que: essa substituição transforma o termo não linear y^n em uma função linear de u, e permite reduzir a equação a uma equação linear de primeira ordem em u.

Passo 3

Calculemos a derivada de u em função de y:
u = y^{-1}\quad\Rightarrow\quad \frac{d u}{d x} = -y^{-2}\,\frac{d y}{d x}.
Agora manipulamos a equação original para aparecer y^{-2}\,\frac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados de
\frac{d y}{d x}+y=x y^{2}
por y^{2} obtemos
y^{-2}\,\frac{d y}{d x}+y^{-1}=x.
Substituímos y^{-2}\,\frac{d y}{d x} = -\frac{d u}{d x} e y^{-1}=u. Assim a equação fica
-\frac{d u}{d x}+u = x.

Passo 4

Reescrevendo em forma linear padrão:
\frac{d u}{d x}-u = -x.
Esta é uma equação linear de primeira ordem na forma
\frac{d u}{d x}+p(x)\,u=q(x),
onde p(x)=-1 e q(x)=-x.
Explicando o método do fator integrante: para resolver \frac{d u}{d x}+p(x)u=q(x) calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda torna-se a derivada de \mu(x)u, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x) u\big)=\mu(x) q(x).

Passo 5

Aqui p(x)=-1, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -1\,dx\right)=e^{-x}.
Multiplicando a equação \frac{d u}{d x}-u=-x por e^{-x} obtemos
e^{-x}\frac{d u}{d x}-e^{-x}u = -x e^{-x},
e a esquerda é a derivada
\frac{d}{d x}\big(e^{-x} u\big) = -x e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{d x}\big(e^{-x} u\big)\,dx = \int -x e^{-x}\,dx.
A integral à esquerda é e^{-x} u. Para a integral à direita fazemos integração por partes. Primeiro calculamos \int x e^{-x}\,dx. Tomando a=x, db=e^{-x}dx temos da=dx, b=-e^{-x}, então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.
Portanto
\int -x e^{-x}\,dx = (x+1)e^{-x}+C.

Passo 6

Com isso temos
e^{-x} u = (x+1)e^{-x} + C,
onde C é constante de integração. Multiplicando por e^{x},
u = x+1 + C e^{x}.
Lembrando que u=y^{-1}, obtemos a solução geral para y:
y(x)=\frac{1}{x+1 + C e^{x}}.

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1. Para x=0:
1 = y(0)=\frac{1}{0+1 + C e^{0}}=\frac{1}{1+C}.
Isso implica 1+C=1, logo C=0.
Substituindo C=0 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{1}{x+1}.

Passo 8

Verificação rápida (recomendável na prova): calcule \frac{dy}{dx} para y(x)=\dfrac{1}{x+1}:
\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Então
\frac{d y}{d x}+y = -\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{x+1} = \frac{x}{(x+1)^{2}},
e
x y^{2} = x\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}=\frac{x}{(x+1)^{2}}.
As duas expressões coincidem, logo a solução está correta. Observação sobre domínio: a solução é válida para x\neq -1; a condição inicial em x=0 é compatível.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{x+1}

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